作者：孤筝（lvbowen040427@163.com）

1. 留數定理（Residue Theorem）：

留數定理是複變函數理論中的一個關鍵結果，它建立在留數的概念之上。留數定理的核心思想是，如果在一個包含孤立奇點的閉曲線內，函數在這個曲線上處處解析，那麼曲線內的整體積分等於函數在奇點處的留數之和。

2. 洛朗級數（Laurent Series）：

洛朗級數是一種複變函數的展開形式，可以表示為無窮級數的形式，包括正次冪和負次冪。具體而言，一個複函數在一個環形區域內的洛朗級數表示如下：

其中，$c_n$是係數，而$z_0$是展開點。

3. 高階導數公式：

複變函數的高階導數公式和實變函數有些相似，但在複平面上的運算需要注意。如果一個函數在某點解析，那麼它在該點處的高階導數可以通過對冪級數逐項求導得到。

4. 柯西積分公式（Cauchy’s Integral Formula）：

柯西積分公式是複分析中的一個基本結果，它建立了解析函數和其在圍道上的積分之間的關係。具體而言，如果函數$f(z)$在一個簡單閉合曲線內解析，那麼對於這個曲線內的任意點$z_0$，有：

其中，$C$是包圍$z_0$的簡單閉合曲線。

關係和聯繫：

1. 留數定理與洛朗級數： 留數定理可以用來計算閉合曲線內函數的積分，而洛朗級數展開可以幫助我們理解函數在奇點附近的性質，從而求得留數。

2. 留數定理與高階導數公式： 留數定理可以通過對函數在奇點處的洛朗級數展開，然後逐項求導，來計算高階導數。

3. 留數定理與柯西積分公式： 柯西積分公式可以用來計算函數在圍道上的積分，而留數定理是柯西積分公式的一種特例，其中圍道內只有有限個孤立奇點。

1. 留數定理的洛朗級數證明：

留數定理：

留數定理的表述為：

如果$f(z)$在包含孤立奇點$z_0$的閉曲線內處處解析，那麼曲線內的整體積分等於函數在奇點處的留數之和。

洛朗級數展開：

其中，$c_n$是留數。

證明步驟：

1. 洛朗級數的求解： 通過複變函數的洛朗級數展開，我們有

   $$f(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n (z - z_0)^n$$

   其中，$c_n$是由留數計算得到的係數。

2. 積分的計算： 對洛朗級數進行積分：

   $$\oint_C f(z) \, dz = \oint_C \left( \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n (z - z_0)^n \right) \, dz$$

3. 積分與求和次序交換： 由於積分與求和次序可以交換，我們得到：

   $$\oint_C f(z) \, dz = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \oint_C c_n (z - z_0)^n \, dz$$

4. 留數定理的應用： 對於$n \neq -1$，由於$c_n$不含$z^{-1}$，積分結果為零。只有$n = -1$項會貢獻非零積分。

   $$\oint_C f(z) \, dz = 2\pi i \cdot c_{-1}$$

5. 結論： 最終得到留數定理的結論：

   $$\oint_C f(z) \, dz = 2\pi i \cdot c_{-1}$$

2. 留數定理到高階導數公式的證明：

留數定理：

留數定理的表述為：

如果$f(z)$在包含孤立奇點$z_0$的閉曲線內處處解析，那麼曲線內的整體積分等於函數在奇點處的留數之和。

高階導數公式：

複變函數的高階導數公式如下：

如果$f(z)$在某點$z_0$處解析，那麼它在該點的$n$階導數可以表示為：

其中，$C$是包圍$z_0$的簡單閉合曲線。

證明步驟：

1. 留數定理的應用： 根據留數定理，我們知道

   $$\oint_C f(z) \, dz = 2\pi i \cdot \text{Res}(f, z_0)$$

2. 洛朗級數的求解： 類似於前面的討論，我們可以將$f(z)$在$z_0$處展開為洛朗級數：

   $$f(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n (z - z_0)^n$$

3. 高階導數的計算： 利用洛朗級數，我們可以計算$f^{(n)}(z_0)$：

   $$f^{(n)}(z_0) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} n(n-1)\ldots(n-k+1) \cdot c_n \cdot (z - z_0)^{n-k}$$

4. 留數的提取： 我們可以觀察到只有$n = -k$時才會貢獻非零項，因此

   $$f^{(n)}(z_0) = n! \cdot c_{-n}$$

5. 結論： 將$c_{-n}$代入留數定理的表達式，得到高階導數公式的形式：

   $$f^{(n)}(z_0) = \frac{n!}{2\pi i} \oint_C \frac{f(z)}{(z - z_0)^{n+1}} \, dz$$

3. 留數定理da柯西積分公式的證明：

留數定理：

留數定理的表述為：

如果$f(z)$在包含孤立奇點$z_0$的閉曲線內處處解析，那麼曲線內的整體積分等於函數在奇點處的留數之和。

柯西積分公式：

柯西積分公式表述為：

其中，$C$是包圍$z_0$的簡單閉合曲線。

證明步驟：

1. 留數定理的應用： 根據留數定理，我們知道

   $$\oint_C f(z) \, dz = 2\pi i \cdot \text{Res}(f, z_0)$$

2. 洛朗級數的求解： 類似於前面的討論，我們可以將$f(z)$在$z_0$處展開為洛朗級數：

   $$f(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n (z - z_0)^n$$

3. 柯西積分公式的形式： 考慮柯西積分公式的形式：

   $$f(z_0) = \frac{1}{2\pi i} \oint_C \frac{f(z)}{z - z_0} \, dz$$

4. 留數的提取： 我們可以觀察到$c_{-1}$對應著$1/(z - z_0)$，因此：

   $$f(z_0) = c_{-1}$$

5. 結論： 將$c_{-1}$代入柯西積分公式的表達式，得到柯西積分公式：

   $$f(z_0) = \frac{1}{2\pi i} \oint_C \frac{f(z)}{z - z_0} \, dz$$

本文2023-12-20首發於孤筝の温暖小家，最後修改於2023-12-20

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作者：孤筝（lvbowen040427@163.com）

複數

1. 複數的表達形式： $$z = r\cdot e^{i\theta} = r(cos\theta +i\cdot sin\theta)$$
2. 幾種初等函數
   1. 指數函數：$e^z = e^x(cosy+isiny)$
      1. $e^z只是expz的縮寫，並沒有冪的含義$
      2. $|e^z| = e^x,Arg(e^z) = y+2k\pi$
   2. 對數函數：$Lnz =ln|r|+iArgz$
      1. 函數在除去原點和負實軸的$z$平面內解析，且$(Lnz)' = \frac{1}{z}$
   3. 三角函數
      1. $cosz = \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2},sinz = \frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}$
      2. $chz = \frac{e^z+e^{-z}}{2},shz = \frac{e^z-e^{-z}}{2}$

解析函數

1. 可導的定義： $$\lim_{\Delta z \to 0} \frac{f(z_0+\Delta z)-f(z_0)}{\Delta z} 極限存在，就稱f(z)在z_0可導$$
2. 解析的定義： $$函數f(z)在z_0及z_0的鄰域內處處可導，就稱f(z)在z_0處解析$$ 推論：解析函數的和、差、積、商也是解析函數，解析函數的複合也是解析函數。
3. 可導、解析的充要條件：$u(x),v(x)可微$，並且滿足柯西-黎曼方程 $$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y} ,\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x} $$若有一個不滿足，則既不可導也不解析。 推論：$f'(z) = \frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{1}{i}\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial y}$

複變函數的積分

重要公式

1. 柯西-古薩基本定理 在解析，單連通的區域內的任意閉合曲線積分值為0，即 $$\oint_{C}^{}f{(z)}dz = 0$$
2. 複合閉路定理——柯西積分定理向多連通推廣 C為解析、多連通區域內的簡單閉曲線，$C_1,C_2 \cdots C_n$為C內同向的簡單閉曲線， $$\oint_{C}^{}f{(z)}dz = \sum_{k=1}^{n} \oint_{C_k}f(z)dz $$
3. 柯西積分公式——將曲線C內部任意一點的值用它邊界的值來表示
4. $f(z)$在區域D內解析，C為D內一條正向簡單閉曲線 $$2\pi i\cdot f(z_0) = \oint_{c} \frac{f(z)}{z-z_0}dx$$
5. 柯西積分公式的高階推廣——用函數的高階導數來求積分 $$f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_C \frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}dz$$

級數

冪級數

1. 解析函數的兩個性質
   1. 解析函數具有任意階導數
   2. 解析函數都一定可以用冪級數來表示
2. 泰勒展開$f(z) = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}z^n$
3. 求泰勒展開的方法[[高等數學#函數展開為冪級數]]

洛朗級數

1. 雙邊冪級數
   1. 收斂域是圓環域$R_1 \lt |z-z_0| \lt R_2$
2. 洛朗展開: $$f(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n(z-z_0)^n,c_n=\frac{1}{2\pi i}\cdot \oint_{C}\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}dz$$ 推論：當$n$取$-1$時，$c_{-1}\cdot 2\pi i=\oint_Cf(z)dz$
3. 求洛朗展開的方法
   1. 用定義來算出來$c_n$(幾乎不用)
   2. 運用代數運算、代換等方法，使得洛朗級數變為泰勒級數的形式和收斂域

留數

孤立奇點

1. 定義：$f(z)$在$z_0$處不解析，但在$z_0$的某一去心鄰域內處處解析
2. 孤立奇點的分類（根據洛朗級數的負冪項）
   1. 可去奇點：不含有負冪項 ，因此當$z\to z_0$時$f(z)$的極限為有限數
   2. 極點：含有有限個負冪項（若有m個負冪項，則稱$z_0$為$f(z)$的m級極點），當$z\to z_0$時$f(z)$的極限為$\infty$.
   3. 本性奇點：含有無限個負冪項，$f(z)$的極限不存在
3. 極點和零點的關係
   1. 零點的定義：不恆等於零的解析函數$f(z)$,如果能表示成$f(z) = (z-z_0)^m\varphi(z)$,$則稱z_0為f(z)的m級零點$. 充要條件是：$f^{(n)}(z_0) = 0,(n \lt m)\quad f^{(m)}\ne 0$
   2. 如果$z_0為f(z)的m級零點$，$則稱z_0為\frac{1}{f(z)}的m級極點$.

留數

1. 定義： $$Res[f(z),z_0]=c_{-1} = \frac{1}{2\pi i}\oint_C f(z)d_z$$
2. 留數的計算法則
   1. 如果$z_0為f(z)的一級極點$ $$Res[f(z),z_0]=\lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)$$
   2. 如果$z_0為f(z)的m級極點$ $$Res[f(z),z_0]=\frac{1}{(m-1)!}\lim_{z\to z_0}\frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}}(z-z_0)^mf(z)$$
   3. 如果$f(z)=\frac{P(z)}{Q(z)},且P(z_0)\ne0,Q(z_0) =0,Q'(z_0)\ne0$ $$Res[f(z),z_0]=\frac{P(z_0)}{Q'(z_0)}$$
   4. $$Res[f(z),\infty]=-Res[f(\frac{1}{z})\cdot\frac{1}{z^2},0]$$

本文2023-11-17首發於孤筝の温暖小家，最後修改於2023-11-17

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