作者：孤筝（lvbowen040427@163.com）

第一章 微粒二象性與狀態描述

1.1 量子力學的形成與應用

1.1.1 舊量子論

光電效應與光子假說

• 光子能量：$E = h\nu$
• 閾頻：$\nu_0 = \dfrac{W_0}{h}$，$\nu < \nu_0$ 無光電子逸出
• 光電效應方程：
  $$ E_k^{\text{max}} = \frac{1}{2}\mu v^2_m = h\nu - W_0 $$
• 光電效應證明了光的粒子性。

光子的能量—動量（向量）關係與波粒統一

• 相對論能量—動量關係式
  

  $$ E^2=(pc)^2+(m_0c^2)^2,\quad m_0=0\ \Rightarrow\ E=c\,\lVert\vec p\rVert $$

• 光子能量
  

  $$ E=h\nu=\frac{hc}{\lambda}=\hbar\omega $$

• 光子動量（向量形式）
  令 $\mathbf n$ 為傳播方向的單位向量，則

  $$ \vec p=\frac{E}{c}\,\mathbf n=\frac{h}{\lambda}\,\mathbf n=\hbar\vec k,\quad \vec k=\frac{2\pi}{\lambda}\,\mathbf n $$

• 波粒二象性統一（對應關係）
  

  $$ E\ \longleftrightarrow\ \hbar\omega,\qquad \vec p\ \longleftrightarrow\ \hbar\vec k $$

氫原子玻爾結構

• 電子繞原子核运動的軌道角動量量子化：
  $$ L = n\hbar,\quad n=1,2,3,\dots $$
• 能級公式：
  $$ E_n = -\frac{13.6\ \text{eV}}{n^2} $$
• 成功解釋了氫原子光譜的線狀分佈。

玻爾假說

• 電子在穩定軌道上運動時不輻射能量。
• 電子在不同能級之間躍遷時吸收或發射能量：
  $$ \Delta E = h\nu $$

康普頓效應

• 高能光子與電子散射後波長增加：
  $$ \Delta\lambda = \lambda' - \lambda = \frac{h}{m_ec}(1-\cos\theta) $$
• 實驗證實了光子的粒子性與動量守恆。

黑體輻射

• 能量量子化假設：電磁場能量按 $E=nh\nu$ 離散取值。
• 普朗克公式：
  $$ u(\nu,T)=\frac{8\pi h\nu^3}{c^3}\frac{1}{e^{h\nu/kT}-1} $$
• 成功解釋了黑體輻射實驗曲線，開啟量子論。

1.1.2 微觀粒子的波粒二象性

德布羅意假說

• 微觀粒子不僅具有粒子性，也具有波動性。
• 每一個動量為 $\vec p$ 的粒子，都對應一列物質波，其波長和頻率與動量、能量相關。

德布羅意關係

• 波長：
  $$ \lambda = \frac{h}{p} $$
• 向量形式：
  $$ \vec p = \hbar \vec k $$
• 頻率：
  $$ E = h\nu = \hbar\omega $$

1.2 狀態與波函數

1.2.1 測不準原理

• 微觀粒子的位置與動量不能同時被精確測定，存在測量極限。
• 海森堡測不準關係：
  $$ \Delta x \cdot \Delta p_x \geq \frac{\hbar}{2} $$
• 能量與時間之間的測不準關係：
  $$ \Delta E \cdot \Delta t \geq \frac{\hbar}{2} $$
• 本質：源於波粒二象性與算符的不對易性。

1.2.2 波函數

• 為描述微觀粒子狀態，引入波函數 $\psi(\vec r,t)$。
• 機率詮釋：$|\psi(\vec r,t)|^2 dV$ 表示粒子在體積元 $dV$ 內出現的機率。
• 波函數必須滿足線性疊加原理與薛定諤方程。
• 粒子必定在空間某點出現，其在空間各點出現機率的總和為 1，因此粒子在空間各點出現的機率只取決於波函數在空間各點的相對強度，而不取決於強度的絕對大小。
• 將波函數乘上一個常數後，所描寫的粒子狀態並不改變。
• 波函數標準條件：單值、有限、連續

1.2.3 波函數歸一化

• 歸一化條件：在空間內找到粒子的機率為 1。
  $$ \int_{-\infty}^{\infty} \psi^* (\vec r,t) \psi (\vec r,t) dV = 1 $$
• 歸一化波函數求法 $$ \int_{-\infty}^{\infty} |\Psi(\vec r,t)|^2 dV = A^2 \int_{-\infty}^{\infty} |\psi(\vec r,t)|^2 dV = 1 $$ A：歸一化常數

1.3 薛定諤方程

1.3.1 自由粒子的波動方程

概念
自由粒子是指不受外力作用的粒子，其運動僅受量子力學規律描述。在量子力學中，自由粒子的狀態由波函數 $\psi(\vec{r},t)$ 描述，滿足薛定諤方程。

薛定諤方程（自由粒子）

其中：

• $\hbar$：約化普朗克常數
• $m$：粒子質量
• $\nabla^2$：拉普拉斯算符

平面波解
自由粒子波函數的一般解為平面波形式：

其中：

• $\vec{k}$：波矢，$|\vec{k}| = k$
• $\omega$：角頻率，滿足能量關係
  $$ E = \hbar \omega = \frac{\hbar^2 k^2}{2m} $$

動量與波矢關係（德布羅意關係）

自由粒子薛定諤方程的平面波推導

1. 自由粒子波函數假設
自由粒子波函數可以寫成平面波形式：

其中：

• $\vec{k}$ 為波矢
• $\omega$ 為角頻率
• $A$ 為振幅常數

2. 求時間偏導數
對時間 $t$ 求偏導：

乘以 $i\hbar$：

3. 求空間拉普拉斯（動能項）
對空間 $\vec{r}$ 求二階偏導：

因此動能項為：

4. 建立能量關係
自由粒子的總能量為動能：

5. 得到薛定諤方程
將時間導數與空間導數關係寫出：

說明

• 這種推導直接利用了平面波形式和微分運算，不依賴算符定義。
• 對應自由粒子 $V=0$ 的情況。

1.3.3 定態薛定諤方程與定態波函數

概念
定態波函數是指時間依賴可分離的波函數，形如：

設 $f(t)=e^{-i E t / \hbar}$ 。
其中 $\phi(\vec{r})$ 只依賴空間座標，$E$ 為粒子總能量。

推導定態薛定諤方程
從時間依賴薛定諤方程：

代入 $\psi(\vec{r},t) = \phi(\vec{r}) e^{-i E t / \hbar}$：

化簡得到時間獨立部分：

定態薛定諤方程（時間獨立形式）

說明

• $\phi(\vec{r})$ 稱為定態波函數或本徵函數。
• $E$ 為對應的能量本徵值。

薛定諤方程的推導（算符）

1. 從經典能量出發
經典力學中，單個粒子的總能量為：

其中 $p$ 是動量，$V(\vec{r},t)$ 是勢能。

2. 引入量子假設（德布羅意關係）
粒子具有波動性，動量和能量對應波的性質：

波函數可表示為：

3. 引入算符表示
根據量子力學公設，能量與動量用算符表示：

4. 將算符作用到波函數上

• 動能算符： $$ \hat{T} = \frac{\hat{p}^2}{2m} = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 $$
• 總能量算符： $$ \hat{H} = \hat{T} + V(\vec{r},t) = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V(\vec{r},t) $$

5. 寫出薛定諤方程
將總能量算符作用於波函數：

即：

說明

• 這是非相對論情況下的時間依賴薛定諤方程。
• 對自由粒子 ($V=0$) 可化簡為： $$ i\hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 \psi $$

態疊加原理

概念
量子力學中，若 $\psi_1$ 和 $\psi_2$ 是同一體系的兩個可能態，那麼它們的線性組合：

也是該體系的一個可能態。這裡 $c_1, c_2$ 為複數係數，滿足歸一化條件。

一般形式
對一組正交歸一基態 $\{ \phi_n \}$，任意態可展開為：

其中：

• $c_n$ 為展開係數，表示體系處於 $\phi_n$ 態的機率幅；
• 機率為 $|c_n|^2$，需滿足： $$ \sum_n |c_n|^2 = 1 $$

說明

• 態疊加是量子力學最基本的原理之一。
• 不同基態可以同時疊加，但觀測時只能得到其中一個本徵值。
• 疊加態的干涉效應體現了量子力學與經典力學的根本區別。

第二章 薛定諤方程的簡單應用

2.1 一維無限深勢阱

2.1.1 方程求解

1. 勢能函數定義
一維無限深勢阱（寬度 $L$）定義為：

2. 薛定諤方程
在阱內 ($0 < x < L$)：

化簡為：

其中：

3. 通解
方程的通解為：

4. 邊界條件
由於勢阱無限深，波函數必須滿足：

• 由 $\phi(0) = 0 \implies B = 0$
• 由 $\phi(L) = 0 \implies \sin(kL) = 0 \implies kL = n\pi \quad (n=1,2,3,\dots)$

5. 本徵函數與能量

• 歸一化波函數： $$ \phi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right), \quad n=1,2,3,\dots $$
• 能量本徵值： $$ E_n = \frac{n^2 \pi^2 \hbar^2}{2mL^2}, \quad n=1,2,3,\dots $$

說明

• 粒子能量離散化，與量子數 $n$ 成正比。
• 基態能量 ($n=1$) 非零，體現零點能量現象。

2.2 數理方程的特殊函數

2.2.1 正交性與歸一性

正交性
一組函數 $\{ \phi_n(x) \}$ 在區間 $[a,b]$ 上若滿足：

則稱為正交。

歸一性
若同時滿足：

則稱為歸一。

正交歸一性
綜合寫為：

2.2.2 用正交歸一函數組展開

任意滿足一定條件的函數 $f(x)$ 可以展開為正交歸一函數組 $\{ \phi_n(x) \}$ 的線性組合：

其中展開係數：

2.2.3 傅立葉級數

在區間 $[-L,L]$ 上，週期函數 $f(x)$ 可展開為三角函數正交基的級數：

其中：

2.2.4 構造正交歸一函數

常用方法：施密特正交化（Gram-Schmidt）。
給定一組函數 $\{ f_n(x) \}$，可依次構造：

依此類推，得到一組正交歸一函數。

2.2.5 勒讓德多項式與其他特殊函數

勒讓德多項式
由勒讓德方程：

解為勒讓德多項式 $P_l(x)$。

• 正交性： $$ \int_{-1}^{1} P_l(x) P_{l'}(x)\,dx = \frac{2}{2l+1}\delta_{ll'} $$

其他常見特殊函數

• 球諧函數 $Y_l^m(\theta,\phi)$：角動量問題中出現。
• 貝塞爾函數 $J_n(x)$：圓柱對稱問題中出現。
• 厄米多項式 $H_n(x)$：諧振子問題中出現。

這些特殊函數都是滿足不同邊界條件與對稱性的薛定諤方程解。

2.3 線性諧振子

2.4 氫原子

2.4.1 方程求解（分為 $r,\ \theta,\ \phi$ 三個方程）

1. 時間獨立薛定諤方程（庫侖勢）
氫原子（單電子）勢能：

在球座標 $(r,\theta,\phi)$ 中，時間獨立薛定諤方程為

2. 變數分離
設

代入並除以 $\Psi$ 後可得到形如

其中 $\hat L^2$ 為角動量算符。將角動量部分移項並設分離常數 $l(l+1)\hbar^2$，得到三個獨立方程（按變數分為 $r,\theta,\phi$）。

3. 方程 1 — 角方程（$\phi$ 方向）
對 $\phi$ 變數：

4. 方程 2 — 角方程（$\theta$ 方向）
極角方程（由 $\hat L^2$ 的 $\theta$ 部分給出）為關聯勒讓德方程：

其解為關聯勒讓德函數：

5. 角部綜合（球諧函數）
角函數組合為球諧函數：

滿足

其中 $l=0,1,2,\dots,\ -l\le m\le l$，且歸一化：

6. 方程 3 — 徑向方程
令 $u(r)=rR(r)$，徑向方程化為一維形式：

解該方程並施加邊界條件 $u(0)=0,\ u(r)\xrightarrow{r\to\infty}0$，得到離散能級與徑向本徵函數。

7. 能量本徵值（玻爾能級）
能量量子化結果：

主量子數 $n$ 與角量子數滿足 $l=0,1,\dots,n-1$。

8. 波函數形式（歸一化）
完整本徵函數寫為

徑向部分（氫原子）可表示為

其中 $a_0=\dfrac{4\pi\varepsilon_0\hbar^2}{m e^2}$ 為波耳半徑，$L_{n-l-1}^{2l+1}$ 為廣義拉蓋爾多項式，$N_{n l}$ 為歸一化常數。

2.4.2 結果與討論

1. 量子數與簡要物理意義

• $n$（主量子數）：決定能量與徑向性質。
• $l$（角量子數）：與角動量大小相關，取 $0\le l\le n-1$。
• $m$（磁量子數）：角動量 $L_z$ 的本徵值，取 $-l\le m\le l$。

2. 能級簡併
能量僅與 $n$ 有關（庫侖勢下的額外對稱性），每一能級的簡併度為 $n^2$（所有滿足相同 $n$ 的 $(l,m)$ 組合）。

3. 波函數的空間結構

• 角部分由球諧函數給出，決定角向分佈與節點數。
• 徑向部分由 $R_{nl}(r)$ 給出，具有 $n-l-1$ 個徑向節點。
• 基態 $(n,l,m)=(1,0,0)$ 的波函數無角向依賴、徑向無節點，機率密度最大在 $r=a_0$ 附近（期望值 $\langle r\rangle = \tfrac{3}{2}a_0$）。

5. 總結
氫原子問題通過在球座標中按 $r,\theta,\phi$ 三個變數分離得到：兩個角方程（$\theta,\phi$）給出球諧函數和角量子數譜，徑向方程給出離散能級 $E_n$ 與徑向本徵函數。

第三章 力學量的算符表示與表象理論

3.1 力學量與算符的關係

3.1.1 算符數學知識

1. 算符的定義
   算符（Operator）是作用在函數空間或態空間上的運算規則。在量子力學中，物理量通過算符來刻畫，波函數是算符作用的對象。

   • 若 $A$ 是一個算符，對波函數 $\psi$ 的作用記為
     $$ A\psi(x) $$
   • 算符可以是代數運算、微分運算或積分運算。

2. 算符的線性性
   算符 $A$ 若滿足
   

   $$ A(c_1\psi_1 + c_2\psi_2) = c_1 A\psi_1 + c_2 A\psi_2 $$

   其中 $c_1, c_2$ 為常數，則稱 $A$ 為線性算符。量子力學中的物理算符一般都是線性的。

3. 算符的對易關係

   • 兩個算符 $A, B$ 的對易子定義為
     $$ [A,B] = AB - BA $$
   • 若 $[A,B]=0$，稱 $A$ 與 $B$ 對易，可以有共同本徵態。
   • 對易關係是量子力學的重要特徵，與測不準原理密切相關。

4. 厄米算符

   • 定義：若算符 $A$ 滿足
     $$ \langle \psi | A\varphi \rangle = \langle A\psi | \varphi \rangle $$ 對任意態向量 $\psi, \varphi$ 都成立，則稱 $A$ 為厄米算符。
   • 性質：厄米算符的本徵值必為實數，本徵函數可正交歸一化。
   • 物理意義：所有可觀測量都由厄米算符表示。

3.1.2 力學量與算符

1. 基本思想
   在量子力學中，每一個經典力學量 $f(q,p)$ 都對應一個量子算符 $\hat{f}$，從而物理量的測量與算符的本徵問題相聯繫。

2. 典型的算符表示
   在位置表象下：

   • 座標算符
     $$ \hat{x} = x $$
   • 動量算符
     $$ \hat{p} = -i\hbar \frac{\partial}{\partial x} $$

3. 對易關係與基本假設
   座標與動量算符滿足基本對易關係：

   $$ [\hat{x}, \hat{p}] = i\hbar $$

   這是量子力學的核心假設之一，反映了經典力學泊松括號與量子力學算符代數的對應關係。

4. 物理量的測量與本徵方程

   • 測量某一物理量 $A$，等價於求解算符 $\hat{A}$ 的本徵方程：
     $$ \hat{A}\psi_a = a\psi_a $$
   • 本徵值 $a$ 是可能的測量結果，本徵函數 $\psi_a$ 描述系統處於物理量 $A$ 取值為 $a$ 的狀態。

3.2 算符對易關係與測不準原理

3.2.1 算符對易關係

1. 定義
   兩個算符 $A, B$ 的對易子定義為：

   $$ [A,B] = AB - BA $$
   • 若 $[A,B]=0$，稱 $A$ 與 $B$ 對易，說明它們可同時具有一組本徵函數。
   • 若 $[A,B]\neq 0$，則 $A, B$ 不對易，對應的物理量不能同時被精確測量。

2. 基本對易關係
   在位置表象下：

   $$ [\hat{x}, \hat{p}_x] = i\hbar $$

   這被稱為量子力學的基本對易關係，是經典力學泊松括號與量子算符代數的對應結果。

3. 推廣形式
   在三維空間中，有：

   $$ [\hat{x}_i, \hat{p}_j] = i\hbar \delta_{ij}, \quad [\hat{x}_i, \hat{x}_j]=0, \quad [\hat{p}_i, \hat{p}_j]=0 $$

   其中 $\delta_{ij}$ 為克羅內克 δ 符號。

4. 物理意義

   • 對易關係刻畫了物理量之間是否可以同時確定。
   • 若兩個算符對易，則它們的物理量可以同時具有確定值。
   • 若不對易，則測量一個物理量會干擾另一個物理量的精確值。

3.2.2 測不準原理

1. 數學表達式
   對於任意兩個算符 $A, B$，定義其物理量的不確定度為：

   $$ (\Delta A)^2 = \langle (A-\langle A \rangle)^2 \rangle $$
   $$ (\Delta B)^2 = \langle (B-\langle B \rangle)^2 \rangle $$

   根據柯西–施瓦茲不等式，可以得到測不準關係：

   $$ \Delta A \cdot \Delta B \geq \frac{1}{2}\left| \langle [A,B] \rangle \right| $$

2. 座標與動量的不確定關係
   對於 $\hat{x}, \hat{p}$：

   $$ \Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{\hbar}{2} $$

   這表明不可能同時無限精確地測量粒子的位置與動量。

3. 能量與時間的不確定關係
   雖然時間在量子力學中不是算符，但可以得到類似關係：

   $$ \Delta E \cdot \Delta t \gtrsim \hbar $$

   該關係對瞬時過程、能級壽命等物理現象有重要意義。

3.3 表象理論

3.3.1 表象理論的數學基礎

1. 表象的概念

   • 量子態與算符可在不同基底（如位置表象、動量表象、能量表象）下表示。
   • 表象就是在某組正交歸一基向量 $\{ | \phi_n \rangle \}$ 下，態向量與算符的矩陣或函數表示形式。

2. 態向量的展開
   對於任意態 $|\psi\rangle$，可在基底 $\{|\phi_n\rangle\}$ 下展開為：

   $$ |\psi\rangle = \sum_n c_n |\phi_n\rangle $$

   其中 $c_n = \langle \phi_n | \psi \rangle$。

3. 算符的矩陣元
   算符 $\hat{A}$ 在基底 $\{|\phi_n\rangle\}$ 下的矩陣元定義為：

   $$ A_{mn} = \langle \phi_m | \hat{A} | \phi_n \rangle $$

   這樣，算符在該表象下對應一個矩陣。

4. 完備性與正交性

   • 完備性： $$ \sum_n |\phi_n\rangle \langle \phi_n| = I $$
   • 正交性： $$ \langle \phi_m | \phi_n \rangle = \delta_{mn} $$

3.3.2 態與力學量的表象

1. 位置表象

   • 基底：$|x\rangle$
   • 波函數表示：
     $$ \psi(x) = \langle x|\psi\rangle $$
   • 算符作用： $$ \hat{x} \psi(x) = x \psi(x), \quad \hat{p}_x \psi(x) = -i\hbar \frac{\partial}{\partial x}\psi(x) $$

2. 動量表象

   • 基底：$|p\rangle$
   • 波函數表示： $$ \phi(p) = \langle p|\psi\rangle $$
   • 算符作用： $$ \hat{p} \phi(p) = p \phi(p), \quad \hat{x} \phi(p) = i\hbar \frac{\partial}{\partial p}\phi(p) $$

3. 能量表象

   • 基底：哈密頓算符的本徵態 $|E_n\rangle$
   • 態向量表示： $$ |\psi\rangle = \sum_n c_n |E_n\rangle, \quad c_n = \langle E_n|\psi\rangle $$
   • 物理意義：能量表象下，態展開係數 $c_n$ 給出粒子處於能量本徵態的機率幅。

4. 表象之間的變換

   • 不同表象之間通過傅立葉變換聯繫：
     $$ \phi(p) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}} \int_{-\infty}^{\infty} \psi(x) e^{-ipx/\hbar} dx $$ $$ \psi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}} \int_{-\infty}^{\infty} \phi(p) e^{ipx/\hbar} dp $$

總結

• 表象理論提供了在不同基底下處理量子態與算符的統一方法。
• 位置表象與動量表象是最常用的兩種形式，它們體現了量子力學的波粒二象性。

3.4 軌道角動量

3.4.1 角動量

1. 定義
   在經典力學中，軌道角動量定義為：

   $$ \vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} $$

   在量子力學中，定義相應算符：

   $$ \hat{\vec{L}} = \hat{\vec{r}} \times \hat{\vec{p}} $$

2. 分量表示
   

   $$ \hat{L}_x = y\hat{p}_z - z\hat{p}_y, \quad \hat{L}_y = z\hat{p}_x - x\hat{p}_z, \quad \hat{L}_z = x\hat{p}_y - y\hat{p}_x $$

3. 對易關係
   

   $$ [\hat{L}_x, \hat{L}_y] = i\hbar \hat{L}_z, \quad [\hat{L}_y, \hat{L}_z] = i\hbar \hat{L}_x, \quad [\hat{L}_z, \hat{L}_x] = i\hbar \hat{L}_y $$

   總角動量算符：

   $$ \hat{L}^2 = \hat{L}_x^2 + \hat{L}_y^2 + \hat{L}_z^2 $$

3.4.2 角動量守恆

1. 守恆條件
   若體系的哈密頓算符與角動量分量對易，則該分量守恆：

   $$ [\hat{H}, \hat{L}_i] = 0 \quad \Rightarrow \quad \hat{L}_i \ \text{守恆} $$

2. 球對稱勢場
   在球對稱勢場 $V(r)$ 下：

   $$ [\hat{H}, \hat{L}^2] = 0, \quad [\hat{H}, \hat{L}_z] = 0 $$

   說明總角動量 $\hat{L}^2$ 與其 $z$ 分量 $\hat{L}_z$ 守恆。

3.4.3 軌道角動量計算

1. 本徵方程
   軌道角動量滿足：

   $$ \hat{L}^2 Y_{lm}(\theta,\varphi) = l(l+1)\hbar^2 Y_{lm}(\theta,\varphi) $$
   $$ \hat{L}_z Y_{lm}(\theta,\varphi) = m\hbar Y_{lm}(\theta,\varphi) $$

   其中 $Y_{lm}(\theta,\varphi)$ 為球諧函數，$l=0,1,2,\dots$，$m=-l,\dots,l$。

2. 本徵值

   • 角動量平方： $$ L = \sqrt{l(l+1)} \hbar $$
   • 角動量 $z$ 分量： $$ L_z = m\hbar $$

3. 物理意義

   • $l$ 為軌道角動量量子數，決定角動量大小。
   • $m$ 為磁量子數，決定角動量在 $z$ 方向上的投影。
   • 軌道角動量的量子化反映了微觀粒子運動的離散性。

第四章 微擾理論及其應用

4.1 定態微擾理論

4.1.1 非簡併微擾理論

1. 基本思想
   當體系的哈密頓量可以寫成：

   $$ \hat{H} = \hat{H}^{(0)} + \lambda \hat{H}' $$

   其中 $\hat{H}^{(0)}$ 為可解的零階哈密頓量，$\hat{H}'$ 為較小的微擾項，$\lambda$ 為展開參數。
   若能量本徵態非簡併，可展開為級數解。

2. 能量修正

   • 零階：
     $$ E_n^{(0)} , \quad \psi_n^{(0)} $$
   • 一階：
     $$ E_n^{(1)} = \langle \psi_n^{(0)} | \hat{H}' | \psi_n^{(0)} \rangle $$
   • 二階：
     $$ E_n^{(2)} = \sum_{m \neq n} \frac{|\langle \psi_m^{(0)} | \hat{H}' | \psi_n^{(0)} \rangle|^2}{E_n^{(0)} - E_m^{(0)}} $$

3. 波函數修正
   一階波函數修正：

   $$ \psi_n^{(1)} = \sum_{m \neq n} \frac{\langle \psi_m^{(0)} | \hat{H}' | \psi_n^{(0)} \rangle}{E_n^{(0)} - E_m^{(0)}} \psi_m^{(0)} $$

4.1.2 簡併微擾理論

1. 問題來源
   若零階能量 $E^{(0)}$ 對應多個正交本徵態，則稱為簡併態。直接套用非簡併公式會出現分母為零的發散問題。

2. 處理方法
   在簡併子空間內，構造矩陣：

   $$ H'_{ij} = \langle \psi_i^{(0)} | \hat{H}' | \psi_j^{(0)} \rangle $$

   對其進行對角化，得到修正後的能量與本徵態。

3. 結果

   • 一階能量修正由 $H'_{ij}$ 的本徵值給出。
   • 修正後的本徵態為 $H'_{ij}$ 的本徵向量在原簡併子空間中的線性組合。

4.2 含時微擾理論

1. 基本框架
   考慮體系哈密頓量：

   $$ \hat{H}(t) = \hat{H}^{(0)} + \hat{H}'(t) $$

   其中 $\hat{H}'(t)$ 為隨時間變化的微擾項。

2. 態展開
   用零階本徵態展開體系波函數：

   $$ |\psi(t)\rangle = \sum_n c_n(t) e^{-iE_n^{(0)}t/\hbar} |\psi_n^{(0)}\rangle $$

   微擾使得係數 $c_n(t)$ 隨時間演化。

3. 躍遷機率
   一階近似下，從態 $i$ 躍遷到態 $f$ 的機率幅為：

   $$ c_f^{(1)}(t) = \frac{1}{i\hbar} \int_0^t \langle \psi_f^{(0)} | \hat{H}'(t') | \psi_i^{(0)} \rangle e^{i\omega_{fi} t'} dt' $$

   其中 $\omega_{fi} = (E_f^{(0)} - E_i^{(0)})/\hbar$。

4. 費米黃金法則
   當微擾近似為簡諧形式，長時間平均下，躍遷速率為：

   $$ W_{i \to f} = \frac{2\pi}{\hbar} \, |\langle f | \hat{H}' | i \rangle|^2 \, \rho(E_f) $$

   其中 $\rho(E_f)$ 為末態密度。

總結

• 定態微擾：適用於時間無關擾動，修正能量與波函數。
• 含時微擾：研究能級間的躍遷過程，解釋輻射與吸收等現象。

電子自旋

電子自旋實驗發現

1. 斯特恩–格拉赫實驗

   • 將銀原子束通過非均勻磁場，觀測到束分裂為兩條軌跡。
   • 說明電子具有除軌道角動量之外的內稟角動量——自旋。

2. 實驗結論

   • 自旋量子數為 $s = 1/2$。
   • 自旋有兩個可能的投影 $m_s = \pm 1/2$。
   • 自旋引入了額外的磁矩： $$ \vec{\mu}_s = -g_s \frac{e}{2m_e} \vec{S}, \quad g_s \approx 2 $$

電子自旋理論

1. 自旋的量子描述

   • 自旋是內稟角動量，不依賴空間座標。
   • 其算符滿足角動量對易關係： $$ [\hat{S}_i, \hat{S}_j] = i\hbar \epsilon_{ijk} \hat{S}_k $$

2. 物理意義

   • 自旋決定了電子的磁性行為。
   • 自旋量子化導致費米–狄拉克統計與泡利不相容原理。

自旋角動量

自旋算符

1. 自旋分量算符
   

   $$ \hat{S}_x, \hat{S}_y, \hat{S}_z $$

   滿足對易關係：

   $$ [\hat{S}_x, \hat{S}_y] = i\hbar \hat{S}_z, \quad \text{循環對稱} $$

2. 總自旋算符
   

   $$ \hat{S}^2 = \hat{S}_x^2 + \hat{S}_y^2 + \hat{S}_z^2 $$

   對應總自旋量子數 $s$：

   $$ \hat{S}^2 |\chi_s\rangle = s(s+1)\hbar^2 |\chi_s\rangle $$

本徵函數的矩陣表示

1. 自旋-1/2 粒子

   • 自旋態空間二維，取基底： $$ |\uparrow\rangle = \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}, \quad |\downarrow\rangle = \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix} $$

2. 自旋算符的矩陣形式（泡利矩陣）
   

   $$ \hat{S}_x = \frac{\hbar}{2} \sigma_x, \quad \hat{S}_y = \frac{\hbar}{2} \sigma_y, \quad \hat{S}_z = \frac{\hbar}{2} \sigma_z $$

   其中

   $$ \sigma_x = \begin{pmatrix}0 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix},\quad \sigma_y = \begin{pmatrix}0 & -i\\ i & 0\end{pmatrix},\quad \sigma_z = \begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & -1\end{pmatrix} $$

角動量耦合理論

1. 自旋-軌道耦合

   • 電子軌道角動量 $\vec{L}$ 與自旋 $\vec{S}$ 耦合： $$ \hat{H}_{\text{SO}} = \xi(r)\, \vec{L} \cdot \vec{S} $$
   • 造成能級分裂（精細結構）。

2. 總角動量
   

   $$ \vec{J} = \vec{L} + \vec{S}, \quad \hat{J}^2 = (\hat{L}+\hat{S})^2 $$

   本徵態記為 $|j, m_j\rangle$，滿足：

   $$ \hat{J}^2 |j, m_j\rangle = j(j+1)\hbar^2 |j, m_j\rangle, \quad \hat{J}_z |j, m_j\rangle = m_j \hbar |j, m_j\rangle $$

3. 耦合結果

   • $j = l \pm s$，$m_j = -j, -j+1, ..., j$。
   • 自旋與軌道角動量的耦合是原子光譜精細結構的重要來源。

全同性原理

全同粒子體系

概念與原理

1. 全同粒子定義

   • 若兩個粒子在物理性質上完全相同（質量、電荷、自旋等）且無法通過任何實驗區分，則稱為全同粒子（Identical particles）。

2. 全同性原理

   • 物理規律對全同粒子應保持不變。
   • 即交換任意兩粒子的位置和自旋，哈密頓量與可觀測量不變。

全同粒子體系哈密頓算符特點

1. 哈密頓量形式
   對 $N$ 個全同粒子：

   $$ \hat{H} = \sum_{i=1}^N \hat{T}_i + \sum_{i
2. $\hat{T}_i$ 為第 $i$ 個粒子的動能算符。
3. $V(\vec{r}_i - \vec{r}_j)$ 為兩粒子間相互作用勢。

4. 對稱性

   • $\hat{H}$ 在交換粒子算符下保持不變： $$ [\hat{H}, \hat{P}_{ij}] = 0 $$
   • $\hat{P}_{ij}$ 為交換粒子 $i$ 與 $j$ 的交換算符。

全同粒子體系波函數特點

1. 對稱性要求

   • 波函數必須滿足交換對稱性： $$ \hat{P}_{ij} \Psi(\dots, \vec{r}_i, \vec{r}_j, \dots) = \pm \Psi(\dots, \vec{r}_i, \vec{r}_j, \dots) $$
   • +號：玻色子（Bosons），波函數對稱。
   • -號：費米子（Fermions），波函數反對稱。

2. 多粒子波函數構造

   • 玻色子：對稱化和式。
   • 費米子：反對稱化行列式（Slater 行列式）： $$ \Psi(\vec{r}_1, \dots, \vec{r}_N) = \frac{1}{\sqrt{N!}} \begin{vmatrix} \psi_1(\vec{r}_1) & \cdots & \psi_1(\vec{r}_N) \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \psi_N(\vec{r}_1) & \cdots & \psi_N(\vec{r}_N) \end{vmatrix} $$

泡利不相容原理

1. 原理內容

   • 對於自旋為半整數的全同費米子，任何兩粒子不能佔據完全相同的量子態。
   • 即： $$ \Psi(\text{同一量子態}) = 0 $$

2. 物理意義

   • 解釋電子在原子軌道的排布規律。
   • 導致原子結構、化學性質與費米氣體性質。

3. 例子

   • 原子中的電子：每個軌道最多兩個電子，自旋相反。
   • 金屬電子：形成費米能級，決定導電與熱學性質。

本文2025-09-05首發於孤筝の温暖小家，最後修改於2025-09-05

本部落格所有文章除特別聲明外，均採用 BY-NC-SA 授權協議。轉載請註明出處！

作者：孤筝（lvbowen040427@163.com）

前兩天把部落格文章從 Typecho 遷移到 Hugo，光是設定 Front Matter 參數和重新配置圖片連結就費了很大功夫。
一個部落格的價值，首先是文章，緊接著就是評論。評論證明部落格在網際網路和真實世界產生的影響，承載了人與人之間的交互關係。私心一點地說，五湖四海的評論是重要的回憶，是構成「我」的一部分。
所以，將原站評論 copy 到新站的對應文章下是很有必要的。

配置 Waline

相比於 Wordpress、Typecho 等動態部落格，靜態部落格只能外掛評論系統，選擇眾多，各有優劣。在參考了這篇文章和查閱各個評論系統官網後，我最終選擇Waline。
Waline 的中文文檔內容翔實，設置LeanCloud數據庫和Vercel 服務端後即可進入評論管理後台 https://<你的服務端域名>/ui/ 。首次註冊成為管理員，在這裡可以管理評論和用戶。

導出 Typecho 評論

Typecho 太老了，用戶少，不如 Hexo、Wordpress 等社區活躍，網際網路上資料也很少。
筆者僅找到大佬怡紅院落寫的一個 Typecho 導出評論到 Valine 的插件 Export2Valine（也是 Waline 文檔中的）。
但上次更新是三年前，經測試已經失效，僅能導入第一條評論。查看導出的 jsonl 文件，顯然評論數據都已經完全導出。

先將該插件安裝到 Typecho （注意更改插件文件夾名稱為 “Export2Valine” ！）。

參考這一篇 Typecho 遷移到 Hexo 的文章，該插件年久失修，需要作一些更改。
找到插件文件夾下的 Action.php ，第 42 行開始改成如下代碼（追蹤父評論）：

$arr = array(
  "objectId" => $comment["coid"],
  "QQAvatar" => "",
  "comment" => $comment["text"],
  "insertedAt" => array(
    "__type" => "Date",
    "iso" => $time
  ),
  "createdAt" => $time,
  "updatedAt" => $time,
  "ip" => $comment["ip"],
  "link" => $comment["url"],
  "mail" => $comment["mail"],
  "nick" => $comment["author"],
  "ua" => $comment["agent"],
  "url" => "/{$slug}.html"
);

if($comment["parent"]) {
  $arr["pid"] = $comment["parent"];
  $arr["rid"] = $this->getRootId($comment["coid"]);
}

其他部分不用修改。
接著在 Typecho 後台-控制台-評論導出，打開下載的 jsonl 文件，刪除開頭的 #filetype:JSON-streaming {"type":"Class","class":"Comment"}\n\n 。
保存後關閉文件，將文件拓展名改為 .json 。

修正 json 格式

導出文件 jsonl 內中文都用轉義，只有一行，看起來一團亂麻。
為轉化成便於閱讀、編輯與導入的 json 格式，我們先利用編輯器的查找與替換功能，將 }\n{ 替換為

},
{

Xcode 的替換，換行符可以點擊左側小放大鏡標選擇插入。

此時每行一個評論對象。

同樣，將各個評論對象內的字段結構分開，將 "," 替換為

",
    "

此時，我們可以看出每個評論對象內包含多個數據，形似

{"objectId":"3",

    "QQAvatar":"",

    "comment":"\u6d4b\u8bd5\u4e00\u4e0b",

    "insertedAt":{"__type":"Date",

    "iso":"2023-06-27T09:37:07.000Z"},"createdAt":"2023-06-27T09:37:07.000Z",

    "updatedAt":"2023-06-27T09:37:07.000Z",

    "ip":"223.104.150.16",

    "link":**null**,"mail":"2868301418@qq.com",

    "nick":"2868301418",

    "ua":"Mozilla\/5.0 (Linux; Android 13; V2171A Build\/TP1A.220624.014; wv) AppleWebKit\/537.36 (KHTML, like Gecko) Version\/4.0 Chrome\/109.0.5414.86 MQQBrowser\/6.2 TBS\/046605 Mobile Safari\/537.36 V1_AND_SQ_8.9.63_4190_HDBM_T QQ\/8.9.63.11380 NetType\/4G WebP\/0.3.0 Ap",

    "url":"\/\u4ea4\u53cb\u6807\u51c6-\u548c\u5e73\u5171\u5904\u4e94\u9879\u539f\u5219.html"},

  {"objectId":"4",

    "QQAvatar":"",

    "comment":"\u600e\u4e48ip\u4e0d\u5bf9",

    "insertedAt":{"__type":"Date",

    "iso":"2023-06-27T09:38:15.000Z"},"createdAt":"2023-06-27T09:38:15.000Z",

    "updatedAt":"2023-06-27T09:38:15.000Z",

    "ip":"223.104.150.16",

    "link":**null**,"mail":"2868301418@qq.com",

    "nick":"2868301418",

    "ua":"Mozilla\/5.0 (Linux; Android 13; V2171A Build\/TP1A.220624.014; wv) AppleWebKit\/537.36 (KHTML, like Gecko) Version\/4.0 Chrome\/109.0.5414.86 MQQBrowser\/6.2 TBS\/046605 Mobile Safari\/537.36 V1_AND_SQ_8.9.63_4190_HDBM_T QQ\/8.9.63.11380 NetType\/4G WebP\/0.3.0 Ap",

    "url":"\/\u4ea4\u53cb\u6807\u51c6-\u548c\u5e73\u5171\u5904\u4e94\u9879\u539f\u5219.html"},

公共字段說明

1. objectId: 評論的唯一標識符（如 “4” 和 “5”）
2. QQAvatar: QQ頭像鏈接（當前為空字符串）
3. comment: 評論內容（包含 Unicode 轉義字符，如 \u600e\u4e48 表示"怎麼"）
4. insertedAt/createdAt/updatedAt: 時間戳（ISO 8601 格式）
5. ip: 評論者的 IP 地址
6. link: 評論者提供的鏈接（可能為 null）
7. mail: 評論者的郵箱地址
8. nick: 評論者暱稱
9. ua: 用戶代理（顯示瀏覽器/設備信息）
10. url: 被評論的頁面路徑

特殊字段

11. pid: 父評論 ID
12. rid: 根評論 ID

如果 "link" 值為 null ，則 "link" 與 "mail" 間沒有換行。json 對換行不敏感，所以可以不管。
此時在文件首尾用 [ ] 將內容包裹起來，保存文件。

修改評論屬性

此時可以直接導入 LeanCloud 了，但尚有內容可以修改。

Export2Valine 將評論關聯文章的 url 設置為 \/slug ，比如 "url": "\/Summary-of-the-First-Semester-of-Junior-Year.html" ，其中 \/ 是轉義 / 。

想要把評論與新部落格的文章聯繫起來，需要手動修改 url 為新部落格的文章鏈接。

以筆者該部落格為例，Hugo 生成的網站根目錄下有 zh-cn,zh-tw,en,ja 四個文件夾（開啟了多語言），中文站的文章在 /zh-cn/post/文章分類/ 下。
筆者在本地部落格源文件就將文章按分類放入不同文件夾，比如 /content/post/Thoughts/最近寫的詩.md 生成網頁相對地址為 zh-cn/post/thoughts/最近寫的詩 。

如果你的新部落格文章在根目錄且名稱未更改，那自然不用修改 url。
若都在 /post/ 下，可以使用查找與替換將

"url":"\/

替換為

"url":"\/post\/

筆者是暫時替換為

"url":"\/zh-cn\/post\/

同樣，友鏈、說說之類的獨立頁面評論也應修改為新部落格對應頁面相對地址。 比如友鏈頁面

"url":"\/links.html

替換為

"url":"\/zh-cn\/friend\/

將 post 和獨立頁面中可以大規模應用查找替換的 url 先替換，否則導入後難以大批量替換。

使用查找與替換時，盡量多包裹共同內容，找「最大公約數」，避免錯誤修改。
注意轉義 \/ !!!

導入 LeanCloud

在 LeanCloud 控制台-數據存儲-導入導出，選擇修改好的 json 文件，Class 填寫 Comment ，導入。

注意，如果你之前在部落格 Waline 發過測試評論，或曾嘗試過導入 Comment，Waline 會先創建 Comment Class ，再導入就無法成功導入數據（LeanCloud 會提示成功，但沒有新數據導入）。

只能先在控制台-結構化數據，選擇 Comment 並刪除該 Class，再次嘗試導入。LeanCloud 頁面可能不會及時刷新結果，Ctrl+F5 刷新緩存就有了。

導入成功後，再針對每個評論 url 進行單獨設置。
比如筆者的 post 需要一個個歸類到 "url":"\/zh-cn\/post\/文章分類\/ 下，此時善用 LeanCloud 批量操作和按條件過濾功能。

後記

評論的整理並沒有耽誤筆者太長時間，120 條評論大部分是筆者自己在說說頁面的自言自語，所以 url 可以批量修正。僅有的十幾條他人評論分佈在寥寥三五個文章中，通過 post 篩選修改起來很快。不知道是好事還是壞事呢（笑）

自言自語也好，他人的留言也好，每一條於筆者都有著非同尋常的意義，隔一段時間回看就會有新的感受。
如最開始所言，這是筆者的成長軌跡，是筆者存活於世的證明，是「我」的一部分。

而你，我親愛的讀者，是你賦予我價值。

有空的話請多多評論吧～筆者真的會開心很久的說（如果評論善意的話）。

本文2025-04-19首發於孤筝の温暖小家，最後修改於2025-04-19

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作者：孤筝（lvbowen040427@163.com）

Hugo 常用指令

| 命令 | 作用 | 說明 |

|——|——|——| | hugo version | 查看版本 | 顯示當前 Hugo 安裝版本 | | hugo new site <專案名> | 建立新站點 | 會生成 Hugo 的目錄結構 | | hugo new post/<檔案名.md> | 建立新文章 | 會在 content/post/ 下生成文章並附帶預設 Front Matter | | hugo server | 啟動本地服務 | 啟動本地預覽，預設地址 http://localhost:1313 | | hugo server -D | 啟動並顯示草稿 | -D 參數顯示 draft: true 的文章 | | hugo | 構建網站 | 將 Markdown 內容生成靜態檔案到 public/ 目錄 | | hugo -D <輸出目錄> | 構建包含草稿 | 用於發佈前的全站構建（含草稿） | | hugo --minify | 壓縮構建檔案 | 構建時壓縮 HTML/CSS/JS，減小體積 | | hugo config | 查看配置資訊 | 顯示當前站點的配置資訊 | | hugo list drafts | 列出草稿 | 查看所有設定了 draft: true 的文章 | | hugo list future | 列出未來發佈的文章 | date 設定在當前時間之後的文章 | | hugo list expired | 列出過期文章 | expiryDate 已過期的文章 | | hugo --gc | 垃圾回收 | 清理過時資源，如縮圖快取 |

reimu 主題 icon_font

本文2025-04-15首發於孤筝の温暖小家，最後修改於2025-04-15

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作者：孤筝（lvbowen040427@163.com）

前言

第一版前言

[[2024-09-14]] 今天補考終於結束了，聽說正考直接放原卷，這幾天刷了三套網上得來的「西電原卷」（21 年和兩套 23 年）。上午刷的 21 年題，下午 $\frac{1}{4}$ 是一個字不改的原題，我都看笑了。 戴浩當年說盡力給錢班找最好的老師，現在看來數統院沒人了？講課不行可以說是重心不在教學、天賦不在教書；出套卷子直接搬舊題，還是近幾年的，題也沒審錯漏百出，給我氣笑了。 自己出的卷子毫無含金量，自己也不做做看。這是態度問題。 你電期末考試放水挺好的，但不要總是拿老本糊弄人。對學生大談創新，對自己能混就行。這不是做學術的態度，更不是教書應有的態度。

概率論就此告一段落，這兩天反覆看筆記刷題訂正不少錯誤，也明晰了這門課的知識結構。雖然內容仍然偏少，但作為期末複習的材料大抵足夠，這版就作為終版吧（大概）。 中秋繼續整理電動力學和數位信號處理。

第二版前言

Nothing is final!!! ——錢學森

補充了分佈函數左右連續問題，看來這門課離 final 還有很遠……

事件運算轉邏輯運算

• $A \cup B=A+B$
• $A \cap B=A \cdot B$
• $A-B=A \bar{B}$ $A$ 事件發生 $B$ 事件不發生，由韋恩圖易證。 可以將 $-B$ 理解為 $\cdot (-B)$ ，$-B$ 即為 $\bar{B}$
• 若 $A \subset B$ ，$A \cup B=B,A \cap B=A$

事件運算轉邏輯運算後，大部分法則共通。 運用數電中學到的邏輯函數運算與化簡，可將複雜事件運算化簡。 Tips：卡諾圖

四大事件概率公式

推論

$P(A+B+C)$ ，將 $A+B$ 看成一個事件，運用上面的加法公式，兩次拆分得到：

更多和事件概率可依此遞推得到。

對立事件：$A$ 不發生的概率，韋恩圖一目了然。

非負性與規範性

非負性：對於任意事件 $A$ ，$0 \le P(A) \le 1$ 。 規範性：對於總事件 $\Omega$ ，$P(\Omega)=1$ 。

相互獨立

獨立必相互獨立。

古典概型

各基本事件發生概率相等。

Eg. 拋硬幣，擲骰子……

古典條件概率公式

伯努利概型（二項分佈）

$n$ 次獨立實驗，每次實驗只有 $A,\bar{A}$ 兩種結果。

$X \sim B(n,p)$

其中，$p=P(A),1-p=P(\bar{A})$

幾何概型

事件 所佔線/面/體積 部分與整個 線/面/體 的 長度/面積/體積 比值。 當事件所佔空間維度低於總事件空間 $\Omega$ 維度時，該事件概率恒為 0 。 ==Warning==：事件概率為 0 不代表一定不發生。 Eg：隨機選中圓內某點，選中任意點概率為 0，但都可能發生。

均勻分佈

$x \sim U(a,b)$ 近似為幾何分佈中的線性分佈，各點處概率密度：

分佈函數：

指數分佈

$x \sim E(\lambda)$

概率密度

分佈函數

泊松分佈

$X \sim \pi(\lambda)$

本文2024-09-10首發於孤筝の温暖小家，最後修改於2024-09-10

本部落格所有文章除特別聲明外，均採用 BY-NC-SA 授權協議。轉載請註明出處！

作者：孤筝（lvbowen040427@163.com）

前言

俗話說得好，美化的盡頭是預設。

雖然預設的 Windows 已經能高效地勝任各項工作，但它確實 ugly 啊。

在擁有一台性能過剩 PC 的情況下，適度追求美化和簡化，滿足本私齋的高端審美是極有必要的（）

下面來說說我在用/用過的美化軟體/方案。

當前桌面方案

• TranslucentTB：工作列透明/壓克力效果
• Sapphire：桌面圖示互動優化
• Wallpaper Engine：為減少 GPU 消耗和記憶體佔用，只選了 Blue Archive 中 Noa 的記憶大廳作為桌布，幾秒的 4 K 影片，整個 Wallpaper 記憶體佔用約 100 Mb。
• Rainmeter：只用了一個音頻條作為美化，因為 Noa 已經夠美了😋 原來用過查看硬體資訊的組件，發現除了增加焦慮外沒什麼用，遂放棄。
• QQ 美化、網易雲音樂美化、游標美化、Obsidian 主題、插件安排上。再加上 Edge 瀏覽器的 iTab 標籤頁和各類實用插件，目前的工作流完全舒適。

貼幾張圖

在以上正常工作流下，記憶體佔大頭的是瀏覽器，GPU 消耗主要來自 wallpaper，從登入到完全自啟動耗時 10s 內，均在可接受負載範圍內。

配置：

• 12400 F
• 7700 XT
• 32G DDR4
• 2K 180Hz HDR顯示器
• Windows 11 專業版 23H2

QQ 美化

==特別推薦！== QQ 是大部分中國人不得不用又恨之入骨的東西——廣告、彈窗、不想看的娛樂頁面、花里胡哨功能性差的界面。 Windows 端自從推出 QQ 9，上述情況改善了不少，然而噁心人的東西最近逐漸加回來了，只能說本性難移。 為了不被迫在這個常用軟體上天天吃屎，偉大的具有開源精神和折騰精神的中文互聯網人紛紛投入 QQ 改造計劃，而今天我要介紹的就是其中一個偉大項目——LiteLoaderQQNT。 好了說正事，liteloader 是 QQNT 的插件平台，安裝後可以下載眾多插件。 GitHub 項目地址：LiteLoaderQQNT: QQNT 插件加載器：輕量 · 簡潔 · 開源 · 福瑞

部分推薦插件如下：

1. PluginInstaller：LiteLoaderQQNT 插件安裝器，可檢查更新和一鍵安裝/重啟。先安裝這個再安裝其他插件省事很多。
2. LL-plugin-list-viewer: LiteLoaderQQNT Plugin 插件列表查看·安裝·更新。收錄了大部分插件，可直達 GitHub 項目地址。安裝功能存在問題，部分插件需要手動安裝和更新，否則會報錯無法啟動 QQ，建議作為插件/主題查看器。
3. 輕量工具箱 —— 輕量 · 優雅 · 高效 · 福瑞：聚合了大量功能的工具箱，免於四處尋找插件。部分可選功能如下：
   • 美化聊天界面實現類 tg 效果（顯示頭像，加時間戳，消息靠左等）
   • 移除稱號、VIP 、推薦標籤等亂七八糟的東西。
   • 右鍵快捷搜索文字/圖片，消息轉圖片發送
   • 選項高亮，特殊消息高亮
   • 小程序分享轉 URL 卡片，記錄離開時位置，快捷+1（復讀機）
   • 消息預覽：根據消息中第一個連結生成一張類 tg 的預覽卡片
   • 本地表情
   • 消息後綴
   • 撤回消息緩存並高亮
   • 設置背景，調整亮度、透明度，可加磨砂等效果
   • 精簡側邊欄，所有功能可開關
   • 輸入框、消息框功能開關
   • ……
4. 二維碼解析：對 QQNT 聊天中的圖片進行二維碼解析
5. 使用自定義瀏覽器打開連結並跳過攔截頁
6. 將 DeepL 翻譯接入你的 QQNT
7. Markdown：為 QQ 添加 Markdown 渲染支持。發出的消息只有安裝了該插件的 QQNT 能渲染 markdown，所以大部分情況下沒用。
8. Kill-Update：關閉 QQ自動更新彈窗，有些插件不會第一時間支持最新版 QQ，所以禁止更新是有用的。
9. window-on-top：讓窗口有置頂功能

還有一些主題我沒有介紹，因為去除垃圾之後部分美化的 QQNT 已經很好看了。 另外 ChatGPT 等 AI 接入插件也有，懶得折騰 API（沒錢）。

網易雲音樂美化

==特別推薦！== 眾所周知，國內幾大音樂平台巨頭都在走複雜化、流量化路線，今天加一個社區，明天加一個短視頻，長期 VIP 跳臉。 作為聽音樂的軟體，有幾項基本功能就夠了。國內外都有很多做得好的音樂播放器，但“播放器”和“音樂平台”之間還是有很多差距的。比如便捷搜索歌曲，查看評論，一起聽等。建立歌單、關注歌手、充值購買等沉沒成本也迫使用戶繼續吃屎。 我一直用的網易雲音樂有一群偉大的互聯網人做了插件，美化後確實美觀好用。 首先是插件平台 betterncm

• 官網：MicroBlock | BetterNCM
• GitHub 項目地址：GitHub - MicroCBer/BetterNCM: NCM 軟體插件管理器
• 社區：關於 BetterNCM 最全面的介紹以及疑難解答 - 飛書雲文檔

優點是安裝 betterncm 後，所有的主題、插件可以從網易雲內平台下載、更新，不用一個個去查找翻 GitHub。 推薦主題：

• Materia You：比較簡潔的主題，純色背景沒有背景圖片。配色方案多樣。

推薦插件：

1. RoundCornerNCM：網易雲音樂窗口圓角，僅 Windows 11。

2. MikuPlugin：管理各元素是否顯示，可以關閉惱人的視頻、直播等元素。

3. 類蘋果歌詞：將歌曲頁面改為類 Apple Music 的樣式，還可更改歌詞源。

4. 這首歌的封面是什麼？：歌曲列表添加封面，增加儲存佔用，易造成卡頓

5. RuLyrics：桌面歌詞插件，支持逐詞，主副歌詞，更改字體，分別更改前景色（已唱）、背景色（未唱），支持嵌入工作列（與 TranslucentTB 同時使用似乎有點問題）

6. 更多好用插件自行探索下載

7. 部分插件對其他插件有依賴、衝突，注意在 GitHub Issues 查看甄別。

Wallpaper Engine

==必備好物！== 鼎鼎大名的萬能小紅車，開啟××√享受嶄新人生（bushi） 作為最常用最好用的桌布軟體，wallpaper 有許多優點：

• 資源豐富。steam 創意工坊每時每刻都有大量優質桌布上架，且幾乎全部免費下載使用。
• 資源種類多。視頻、圖片、動圖、網頁……桌布種類極多，且不少桌布功能豐富，聚合了音樂歌詞、特效、頻譜等功能，一鍵裝點桌面。
• 找資源方便。Wallpaper 搜索和篩選規則完善豐富，可篩選桌布解析度、類型、適用年齡等。
• 使用簡便。基於 steam 創意工坊，能訪問 steam 就能下載桌布，無需翻牆，下載速度有保障。大部分桌布，即使功能複雜，在 wallpaper 界面也能輕鬆設置。
• 串聯手機。Wallpaper 推出了安卓應用，可通過 PC 向手機傳輸使用桌布。

Warning：部分複雜特效網頁、高清視頻桌布較為消耗 GPU 性能，佔顯存較多。可以在 wallpaper 設置裡調整幀率、特效和應用行為等改善。

唯一的缺點是在 steam 購買 wallpaper 需要 19 RMB，不過這價格真不高吧。

Steam：Steam 上的 Wallpaper Engine：桌布引擎

TranslucentTB

==特別推薦！== 工作列透明工具，可以全透、壓克力、不透，換主題色等。 佔用記憶體、儲存極小，幾乎不消耗 CPU 性能。

GitHub 項目地址：GitHub - TranslucentTB GitHub 中文翻譯項目地址：GitHub - kasuganosoras/TranslucentTB-CN

Rainmeter

==特別推薦！== 久負盛名的桌面組件工具，可以自製功能多樣的小部件放在桌面，也可以方便地導入他人製作的部件（即皮膚）。 常見的功能有：

• 顯示 CPU、GPU、記憶體等硬體資訊（實時更新）
• 音頻識別生成各式各樣的律動頻譜條
• 媒體播放器
• 一鍵追番、查看新番
• 放置圖片、輪播圖庫等
• ……

缺點

• 組件放多了會卡
• 部分組件資源消耗大
• 選擇太多了需要折騰

官網：Rainmeter 中國官網：個人分享 Rainmeter GitHub 項目地址：GitHub - rainmeter 中國社區：雨滴美化社區

Start 11

工作列及開始菜單美化工具

• 可以將開始菜單改為 Windows 7-11 的風格，可改變顏色、透明度、間距、對齊方式等。
• 高級索引功能：與 Edge 瀏覽器配對時，打開的選項卡也會顯示在搜索內容中，最常用的內容在結果中的顯示位置會更高。移除本地搜索結果旁邊顯示的 Web 內容的選項！
• 更改開始按鈕圖標，開始菜單背景圖，工作列顏色、紋理。

缺點

• 付費
• 我用起來有卡頓、啟動慢等現象。
• 和 TranslucentTB 不兼容。

官網終身版售價 35 RMB，小貴，30 天免費試用。有許多代理，存在學習版（不推薦）。

官網：Start11 中國官網： Start 11 Steam（褒貶不一）：Steam 上的 Start11 v2

楓の美化工具箱

檔案資源管理器、開始菜單、全局窗口美化工具 目前擁有的功能：

• 主頁面：自定義檔案資源管理器窗口字體、局部顏色模式 Light、Dark (實驗性局部Dark模式存在小的視覺bug)
• 背景設置：自定義檔案資源管理器、開始菜單、系統設置的背景圖片
• 顏色設置：自定義檔案資源管理器配色(標題、組、頁眉、詳細資訊、硬碟進度條)、圓角化硬碟進度條
• 圖標設置：自定義桌面、檔案資源管理器圖標組圖標
• 窗口設置：自定義檔案資源管理器窗口背景效果半透明、Blur、Acrylic、Mica效果 win11圓角類型、開始菜單、系統設置Acrylic背景效果
• 控件樣式：自定義全局窗口標題欄按鈕樣式、macOS樣式按鈕、檔案資源管理器Tab標籤頁、工具欄、地址欄配色、自繪圓角滾動條
• 預設列表：保存、導入、分享你的配置文件
• 插件列表：安裝插件增強和擴展工具箱的功能

Evaluations：

• 還算是簡單易用，記憶體和 GPU 佔用尚可接受。
• 可裝插件和導入配置文件，有一定可玩性。
• 不兼容 TranslucentTB
• 我用起來檔案資源管理器常崩潰、不顯示背景圖片、工具欄配色未更改，可能已經優化穩定了。
• 背景圖片清晰度不高，在 dark 模式下背景圖片容易干擾正常閱讀檔案資訊
• 軟體免費，不完全開源，需要註冊登入賬號。

發布地址：win美化工具箱 ★ 楓の主題社

Sapphire

==特別推薦！== 桌面圖示、佈局美化，更改互動體驗。

• 可調整桌面圖示佈局，更改橫縱網格數
• 放置格子（類手機上的資料夾），將桌面各類檔案直接放進資料夾，分類同一管理
• 調整圖示、格子大小（網格數整數倍），圓角，背景，透明度
• 更改檔案名的字體
• 精簡模式去除檔案名，可每個圖示單獨設置
• 可設置互動動效
• Dock 欄，類 Mac/手機下方的 dock，可豎置，改變長寬、背景色
• 開啟資料夾高級互動後可以資料夾滑鼠懸停預覽內容，單擊原地展開，不必開檔案資源管理器窗口。
• 針對 steam 內應用的快捷方式優化
• 雙擊隱藏圖示，每個可單獨設置是否隱藏。
• 後台記憶體佔用 100 mb 左右，尚可接受。幾乎不消耗 GPU
• 可自定義圖片、動圖作為桌布。初步兼容 WallpaperEngine（需在設置中設置當其他程序成為焦點時為始終運行）。
• 多屏支持

缺點：

• 我的電腦開啟高級檔案互動後，只要資料夾內檔案數稍多，sapphire 會直接卡死。觀望作者更新。
• 暫時還沒有保存桌面佈局的功能，好在即使卡退也會記錄最新佈局。
• 只保證兼容 Windows 11
• 更改桌面右鍵互動但目前還不能自定義

GitHub 項目地址：Sapphire-EnhancedDesktop: Windows桌面取代軟體

游標美化

網上有很多分享游標美化檔案的，根據個人喜好挑選。安裝也不難。 分享兩款，不影響視野同時具有個性化設計的：

1. 原神納西妲游標：納西妲同款滑鼠游標4.0版來咯_原神
2. 蔚藍檔案千年游標，簡約可愛，在用。 GitHub項目地址：BlueArchive-Cursors

本文2024-09-07首發於孤筝の温暖小家，最後修改於2024-09-07

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作者：孤筝（lvbowen040427@163.com）

數位訊號處理基本概念

信號分類

1. 連續信號：即模擬信號，時域連續信號。
2. 時域離散信號：幅度取值連續，時間取值離散。
3. 幅度離散信號：幅度取值離散，時間取值連續。
4. 數位信號：幅度和時間都取離散值。

區別

時域離散信號和數位信號之間的差別，僅在於數位信號存在量化誤差。

數位訊號處理實現方法

數位訊號處理的主要對象是數位訊號，且是採用數值運算的方法達到處理目的的。

軟體實現

按原理和演算法，編寫程式在通用電腦實現。

• 優點：靈活
• 缺點：運算速度慢，難以達到即時處理效果。
• 適合演算法研究和模擬。

硬體實現

按照具體的要求和演算法，設計硬體結構圖，用乘法器、加法器、延時器、控制器、記憶體以及輸入輸出介面等基本部件實現。

• 優點：運算速度快，可即時處理
• 缺點：不靈活

硬體實現指的是選用合適的 DSP 晶片，配有適合晶片語言及任務要求的軟體，實現某種訊號處理功能的一種方法。

專用晶片

採用專用的 數位訊號處理晶片（DSP 晶片） 是目前發展最快、應用最廣的一種方法。因為 DSP 晶片比通用單晶片有更為突出的優點，它結合了數位訊號處理的特點，內部配有乘法器和累加器，結構上採用了流水線工作方式以及平行結構、多匯流排，且配有適合數位訊號處理的指令，是一類可實現高速運算的微處理器。

對於更高速的即時系統，DSP 的速度也不滿足要求時，應採用可程式超大型元件（FPGA）或開發專用晶片來實現。

數位訊號處理特點

相較於類比訊號處理，數位訊號處理具有以下特點：

1. 靈活性
2. 高精度和高穩定性
3. 便於大規模集成
4. 可以實現類比系統無法實現的諸多功能，如儲存、複雜變換和運算。

信號維度

信號通常是一個自變數或幾個自變數的函數。 如果僅有一個自變數，則稱為一維信號；如果有兩個以上的自變數，則稱為多維信號。

時域離散信號與系統

時域離散信號

實際中遇到的信號一般是模擬信號，對它進行等間隔採樣便可以得到時域離散信號。

模擬信號 $x_a(t)$ ，離散時間點 $t_n$ 。 均勻採樣（等間隔採樣）時，採樣間隔 $T$ ，$t_n=nT$

$x(n)$ 稱為時域離散信號，$n$ 取整數，得到序列

時域離散信號也稱序列。

序列表示方法

集合符號

數的集合用集合符號 $\{\cdot \}$ 表示，時域離散信號可表示為有序的數的集合。 集合中有下劃線的元素表示 $n=0$ 時刻的採樣值。

公式表示

範例:

圖形表示

橫坐標為 $n$ ，縱坐標為 $x$ 的值，豎線頂端加黑點。

常用典型序列

單位脈衝序列 $\delta(n)$

也稱單位採樣序列，不同於單位衝激信號 $\delta(t)$ 。

單位階躍序列 $u(n)$

矩形序列 $R_N(n)$

$N$ 稱為矩形序列長度，矩形序列可用單位階躍序列表示。

實指數序列

• $|a| \lt 1$ 時稱 $x(n)$ 為收斂序列
• $|a| \gt 1$ 時稱 $x(n)$ 為發散序列

正弦序列

$\omega$ 稱為正弦序列的數字域頻率（數字頻率），單位為弧度 $rad$ ，表示序列變化速率（相鄰兩個序列值之間相位變化的弧度數）。

模擬角頻率 $\varOmega$，若正弦序列由模擬信號 $x_a(t)=\sin (\varOmega t)$ 採樣得到

則得到數字頻率與模擬角頻率的關係

採樣頻率 $F_s=\frac{1}{T}$ ，因此

數字域頻率是模擬角頻率對採樣頻率的歸一化頻率。

複指數序列

因為 $n$ 取整數，所以正弦序列和複指數序列都以 $2 \pi$ 為周期。

周期序列

如果對所有 $n$ 存在一個最小的正整數 $N$，使下面等式成立：

則稱序列 $x(n)$ 為周期性序列，周期為 $N$ 。

序列運算

簡單

加法和乘法

位移、翻轉、尺度變換

離散時域系統

系統輸入為 $x(n)$ ，輸出為 $y(n)$ ，運算關係用 $T[\cdot]$ 表示。

線性系統

系統的輸入、輸出之間滿足線性疊加原理的系統稱為線性系統。

可加性

齊次性（比例性）

時不變系統

如果系統對輸入信號的運算關係 $T[\cdot]$ 在整個運算過程中不隨時間變化，或者說系統對於輸入信號的響應與信號加於系統的時間無關，則這種系統稱為時不變系統。

線性時不變系統特點

完全響應=零輸入響應+零狀態響應

單位脈衝響應

初始狀態為 0（無零輸入響應）

卷積相關知識見《信號與系統》

系統因果性

定義：如果系統 $n$ 時刻的輸出只取決於 $n$ 時刻以及 $n$ 時刻以前的輸入序列，而和 $n$ 時刻以後的輸入序列無關，則稱該系統具有因果性質，或稱該系統為因果系統。

==充要條件==：系統單位脈衝響應滿足下式

系統穩定性

定義：如果對有界輸入，系統產生的輸出也是有界的，則稱該系統具有穩定性，或稱該系統為穩定系統。 ==充要條件==：系統的單位脈衝響應絕對可和。

線性常係數差分方程

本文2024-09-04首發於孤筝の温暖小家，最後修改於2024-09-04

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作者：孤筝（lvbowen040427@163.com）

流體靜力學基礎

氣體性質

壓縮性

體積彈性模數

定義：產生單位相對體積變化所需壓強增高

對於一定質量氣體，體積與密度成反比例關係，即

回代得

常溫下水的體積彈性模數：$2.1 \times 10^9N/m^2$

通常情況下水可視為不可壓縮流體。

黏性

牛頓黏性定律

流體運動所產生的摩擦阻力與接觸面積成正比

$\tau$ ：摩阻應力，單位面積上的摩擦阻力

$\vec{n}$ ：接觸面法線方向

$\mu$ ：比例常數，稱為流體的黏性係數，單位為 $N \cdot s/m^2$

$\frac{du}{d \vec{n}}$ ：速度梯度

不同流體介質黏性係數值各不相同，並且黏性係數隨溫度變化，與壓強基本無關。

氣體黏性係數隨溫度升高而增大。

薩特蘭公式

空氣黏性係數隨溫度變化關係，近似公式之一薩特蘭公式

$\mu_0$ ：溫度為 $288.15K$ 時空氣黏性係數

$C$ ：常數，值為 $110.4K$

運動黏性係數

$\nu$ ：運動黏性係數，單位為 $m^2/s$

$\mu$ ：黏性係數

$\rho$ ：密度

傳熱性

定義：當氣體中沿某一方向存在溫度梯度時，熱量就會由溫度高的地方傳向溫度低的地方，這種性質稱為氣體的傳熱性。

單位時間內所傳遞熱量與傳熱面積成正比，與沿熱流方向的溫度梯度成正比，即

$q$ ：單位時間通過單位面積熱量，單位 $kJ/(m^2 \cdot s)$

$\frac{\partial T}{\partial \vec{n}}$ ：溫度梯度，單位為 $K/m$

$\lambda$ ：導熱係數，單位為 $kJ/(m \cdot K \cdot s)$

負號表示熱量傳遞方向永遠與溫度梯度方向相反。

流體分類

連續介質假設

理想流體

不考慮黏性，在這種模型中，流體微團不承受黏性力作用。常用於氣體。

忽略黏性的氣體稱為理想氣體。

壓強各向同性

理想流體內一點處的壓強與受壓面的方位無關，它僅是空間坐標的連續函數。

不可壓流體

不考慮氣體壓縮性或彈性，可認為體積彈性模數無窮大，或流體密度為常數。常用於液體。

求解不可壓流體的流動規律，只需要服從力學定律，不需要考慮熱力學關係。

對流速較低的氣體，也可按不可壓流體處理流動問題。

絕熱流體

不考慮流體傳熱性的模型，即把流體熱導係數看作零。低速流動的空氣一般熱導係數值很小，可視為絕熱。

不考慮氣體微團之間熱傳導作用的氣體模型稱之為絕熱氣體。

完全氣體

任何狀態下，氣體的壓強、密度和溫度之間都存在一定的函數關係

完全氣體的狀態方程

$\overline{R}$ ：普適氣體常數，$8315m^2/(s^2 \cdot K)$

$m$ ：某種氣體相對分子質量

$R=\frac{\overline{R}}{m}$ 時，

$R$ 為氣體常數，空氣約為 $287.035m^2/(s^2 \cdot K)$

流體微團受力

壓力

切應力（摩擦力）

徹體力

• 重力
• 電磁力
• 離心力

靜平衡方程

在==靜止流體==中取一點 $P$，壓力為 $p$

建立笛卡爾坐標系，流體內各點處壓力為

以 $P$ 為中心建立各邊平行於坐標軸的長方體，邊長為 $dx,dy,dz$

觀察 $x$ 軸方向，兩面受壓力大小分別為

流體微團 $x$ 軸方向受徹體力為

$f_x$ 為單位質量上所受徹體力在 $x$ 軸方向分力。

因為是靜止流體，流體微團受力平衡。

$x$ 軸方向力平衡方程為

整理得

$\because$ $p$ 全微分方程為

$\therefore$

設==徹體力位函數==

全微分為

其中 $\frac{\partial \varOmega}{\partial x}=f_x$，$\frac{\partial \varOmega}{\partial y}=f_y$，$\frac{\partial \varOmega}{\partial z}=-f_z$

由上述關係得到

兩邊對 $x,y,z$ 三重積分得

當已知某一點 A 處的壓力 $p_a$ ，兩點處徹體力位函數差 $\varOmega_a-\varOmega$ ，該靜止流體密度 $\rho$ （處處相等）時，已知任一點徹體力位函數 $\varOmega$ 可求得該點壓力

推論： 流體內等壓面必是徹體力的等位面。

大氣

大氣分層

底層大氣

• 高度：海平面——85 km
• 特點：組分均勻，氮氣佔總體積 78.1%，氧氣佔總體積 21%

對流層

• 高度
  • 赤道：16~18 km
  • 中緯度地區：10~12 km
  • 兩極：7~10 km
• 質量：佔整個大氣質量 75%
• 特點：有上下方向流動，有風暴、雷雨現象。隨高度增加，空氣溫度快速下降。

對流頂層

過渡層，厚度數百米到一二千米。

平流層

• 高度：對流層~32 km
• 質量：約佔大氣層質量四分之一
• 特點：無氣象，空氣水平流動，溫度保持常數（平均約 216.65 K）

中間大氣層

• 高度：32~85 km
• 質量：1/3000
• 溫度：先上升後下降，85 km 處可降到 106 K 以下。

高層大氣

• 高度：85 km 以上
• 特點：組分不均勻，直接吸收太陽輻射

高溫層

• 高度：85~500 km
• 溫度：隨高度升高溫度上升，500 km 處白天可達 1370 K。
• 特點：直接受太陽短波輻射

外層大氣

• 高度：500+ km，大氣逐漸與星際空間融合
• 質量：$1/10^{11}$
• 特點：大氣過於稀薄，不適合用溫度定義。空氣分子可逃逸入太空。

上層大氣與電離層

• 上層大氣受太陽短波輻射離解為電子和離子，形成電離層。
• 100 km 以上高空中，空氣是良導體。
• 150 km 以上，空氣過於稀薄，無法傳遞聲音。

D 層

• 高度：60~80 km

E 層

• 高度：100~120 km

$F_1$ 層

• 高度：180~220 km

$F_2$ 層

• 高度：300~350 km

國際標準大氣

航空工程中統一的大氣壓強、密度、溫度等參數標準，按中緯度地區全年平均條件統計確定，稱為國際標準大氣。

流體運動學與動力學基礎

流場

流場：充滿運動流體的空間

流動參數：用以表示流體運動特徵的物理量，如速度、密度、壓強等。

流體力學方法：拉格朗日法，歐拉法

拉格朗日法

著眼於質點（運動）

• 研究流場各個質點的運動參數隨時間變化規律和運動軌跡。
• 綜合所有流體質點運動參數變化從而得到整個流場運動規律。

歐拉法

著眼於空間點（不動）

• 研究流體質點通過空間固定點時，運動參數隨時間變化規律。
• 綜合流場中所有空間點處運動參數變化情況，可得到整個流場運動規律。

歐拉法中，流場運動參數一般是空間點座標和時間的函數。

以速度為例

四個變量獨立。

一般三維空間中，建立笛卡爾座標系，將標量參數分解到 $x,y,z$ 軸方向分別分析。

求導得加速度分量

$\because$ $\frac{dx}{dt}=v_x,\frac{dy}{dt}=v_y,\frac{dz}{dt}=v_z$

$\therefore$

由此可知，加速度是時間和位置的函數

當地加速度

等式右邊第一項表示空間固定點處的流體質點速度隨時間變化率，稱當地加速度。（速度與時間關係）

當地加速度是由流場中速度隨時間的變化性引起的。

遷移加速度

後三項反映在同一瞬時，流體質點沿速度矢量方向從空間一點運動到相鄰另一點速度變化率，稱為遷移加速度。（速度與位移關係）

遷移加速度是由流場的不均勻性引起的。

非定常流場

流場中至少存在一空間點的物理量隨時間變化。

定常流場

流場中任意空間點處的物理量不隨時間變化。

跡線

流場中標定的運動流體質點在一段時間內所經過所有空間點的集合，稱為該流體質點跡線。

流線

在流場中每一空間點上都與速度矢量相切的曲線稱為流線。

流線是同一時刻不同流體質點所組成的曲線，它給出該時刻不同流體質點的速度方向。

特點：

• 在定常流場中各流線不隨時間變化。

• 非定常流場中存在隨時間變化的流線。

• 定常流場中，經過某一空間點的流線，與所有經過該空間點的流體質點的跡線重合。

• 一般流線不相交（同一時刻同一空間點不存在兩個速度方向）

• 在速度為 0 的空間點上，流線可以相交。通常稱速度為 0 的空間點為駐點。

• 在速度無窮大的空間點上，流線可以相交，通常稱速度無窮大的空間點為奇點。

• 流線相切，切點後兩線重合。

• 流場中每一點都有流線通過，所有流線集合稱為流線譜或簡稱流譜。

流線微分方程

設流線上某點 $M(x,y,z)$ 處速度為 $\vec{v}$ ，$M$ 點流線微段長 $ds$ ，在笛卡爾座標系分解為 $v_x,v_y,v_z$ 和 $dx,dy,dz$ 。

流線任一點速度方向與流線切線方向相同，則

$\vec{i}$ 為 $x$ 軸方向單位法向量，$y,z$ 軸同理。

上式即為流線的微分方程式。

已知速度分佈時，可求得流場中通過任一點的流線形狀。

流管

在流場中一條不為流線的封閉曲線 C，過 C 上每一點作流線，由這些流線集合構成的管狀曲面稱為流管。

流體微團運動分析

運動形式

剛體運動

• 平移運動
• 繞軸轉動

流體運動

• 平移運動
• 繞軸轉動
• 變形運動
  • 直線變形
  • 剪切變形

二維分析

![Pasted image 20240902212258.png][1]

在流場中任取一矩形流體微團 ABCD，其兩邊的邊長分別為 $\delta_x,\delta_y$ ，且均為小量。

設 $v_x,v_y$ 為 A 點處流體微團分速度，且分速度均為空間點座標的連續函數，則 B, D 點速度可用泰勒級數在 A 點的展開表述。

$\because$ 流體微團邊長足夠小

$\therefore$ 二階以上小量可忽略

流體微團運動時，除了整體運動，B 相對於 A 點也有運動。

$x$ 軸方向相對運動速度 $v_{Bx}-v_x=\frac{\partial v_x}{\partial x}\delta_x$ ，$y$ 軸方向同理 $\frac{\partial v_x}{\partial x}\delta_x$ 。

D 相對於 A 運動速度為 $v_{Dx}-v_x=\frac{\partial v_x}{\partial y}\delta_y,v_{Dy}-v_y=\frac{\partial v_y}{\partial y}\delta_y$ 。

線變形運動

![Pasted image 20240902212840.png][2]

相對速度 $\frac{\partial v_x}{\partial x}\delta_x$ 和 $\frac{\partial v_y}{\partial y}\delta_y$ 是矩形 ABCD 邊線的直線形變速度，時間 $dt$ 內

矩形面積相對變化率為

略去高階小量後，

拓展到三維空間後，同理可得

角變形運動

![Pasted image 20240902214219.png][3]

相對速度 $\frac{\partial v_y}{\partial x}\delta x,\frac{\partial v_x}{\partial y}\delta y$ 表示 AB 邊和 AD 邊繞 A 點的轉動。

規定逆時針轉動為正，

AB 邊轉動角速度

同理 AD 邊轉動角速度為

微團繞 $z$ 軸轉動角速度

定義：微團在 $xOy$ 平面投影中兩條互相垂直線繞 $z$ 軸轉動角速度的平均值。（角速度和之半）

角變形率

定義：微團在 $xOy$ 平面投影中兩條互相垂直線在單位時間內的夾角變化量之半。（角速度差之半）

拓展到三維空間後，流體微團的三軸轉動角速度和角變形率同理可求。

略。

散度

定義：各速度分量在其分量方向上的方向導數之和為速度矢量的三度。

物理意義：標定流體微團在運動過程中相對體積變化率。

==假設前提==：流體的密度沒有發生變化（流體的運動視為不可壓流）。

由一點發出的體積流量定義為

等於單位時間內空間某一點處，單位體積控制體的體積淨流出量，等於流體微團在運動中體積相對變化率。

旋度

定義：旋轉角速度的兩倍。

速度位

在流體力學中, 可根據流體微團是否有旋轉運動, 而將流體運動分為

• 有旋運動
• 無旋運動

當把流動看作無旋運動時，$\omega=0$ ，

上述方程組是 $v_xdx+v_ydy+v_zdz$ 構成某函數 $\phi(x,y,z)$ 全微分的充要條件。即

$\phi$ 稱為速度位或速度位函數。

使用柱極座標時，

應力 ：單位面積上的力稱為應力

純量

壓力

密度

溫度

黏性係數

向量

流動速度

剪應力

理想氣體狀態方程式

$R=8.314J \cdot mol^{-1} \cdot K^{-1}$ 為理想莫耳氣體常數。

$R'$ 為==比氣體常數==。

理想空氣 $R'=287J/(kg \cdot K)$

空氣動力及力矩

空氣動力 $R$：Resultant

空氣對物體的力

• 壓力 $p$ ：Pressure
• 剪應力 $\tau$ ：Shear stress

壓力與剪應力的合力即為空氣對物體作用力，空氣動力。

風軸系

• 升力 $L$ ：Lift，豎直分力
• 阻力 $D$ ：Drag，水平分力

自由來流（自由流）

自由流是指飛機前未經擾動的來流，也即沒有飛機等干擾時，空氣的自然流動現象。

升力與阻力的方向由自由來流方向決定。

迎角（攻角）

迎角（英語：Angle of attack，縮寫為AOA，常用希臘字母α表示）為空氣動力學名詞，為機翼之翼弦與自由流（或是相對風流的方向）之夾角；如為飛機迎角，定義則為機軸對相對風流之夾角。當機翼向上為正迎角，向下則為負迎角。

體軸系

• 法向力 $N$：Normal，垂直於機翼方向
• 軸向力 $A$：Axial，平行於機翼方向

力矩 $M$：Moment

讓飛機抬頭的力矩為正，讓飛機低頭力矩為負。

動壓 $q$

自由來流 $V_{\infty},\rho_{\infty}$ 產生的動壓

單位為 $Pa$ ，同壓強

特徵幾何尺寸 $S$

對三維物體來說是面積，對二位物體來說是周長。

無量綱參數

三維物體常用大寫 $C$ ，二維物體常用小寫 $c$ 。

升力係數

阻力係數

法向力係數

軸向力係數

空氣動力係數

力矩係數

壓力係數

$p$：某點靜壓

$p_{\infty}$：自由來流靜壓

摩擦力係數

$\tau$：某點剪應力，即剪應力對面積導數。量綱同壓強。

兩個中心

壓力中心（壓心）

壓力中心（Pressure Center）：流體中的平面或曲面所受流體壓力的合力的作用線同該平面或曲面的交點。空氣動力 $R$ 對此點力矩為 $\vec{0}$。

空氣動力中心（氣動中心，焦點）

空氣動力中心（英語：aerodynamic center，簡稱 AC）在空氣動力學 中是指翼型 上的一個定點，繞該點的俯仰力矩不隨迎角 的改變而變化，即

氣動中心與壓力中心的區別

壓力中心是力系合成到一個特殊點時，使得這個點的合力矩為0的點，壓力中心在氣動中心的後面；而氣動中心是使得合力矩不變的點。

壓力中心的位置隨著迎角的改變而改變，當迎角增大，升力增大，壓力中心前移，這同時使得壓力中心與氣動中心的距離縮短，增大的升力與縮短力臂乘積剛好是不變的力矩，這也正是氣動中心的定義所要求的。

本文2024-09-02首發於孤筝の温暖小家，最後修改於2024-09-02

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作者：孤筝（lvbowen040427@163.com）

破事水

桌上型電腦透過網路線連接校園網需要撥號上網，幽默騰訊幾百年沒更新的TIM登入時沒網路會報錯彈窗。 於是每次開機我都得手動打開設定裡的撥號上網，設定的TIM開機自動啟動會先一步報錯，顯得開機自動啟動這個功能很幽默。 於是寫個bat自動連網，工作管理員裡設定開機自動啟動。但它啟動和TIM是同一個優先級，往往來不及連上網路TIM就自動登入然後報錯彈窗了。 在排程程式庫裡把自動連網程式設為開機啟動，TIM登入後延遲15秒啟動。

（為方便記憶我把bat放startup資料夾裡，開機連網排程程式設為最高優先級隱藏，幽默火絨檢測不到的排程程式不讓執行，以至於除錯好幾次都是登入後才開始連網，我一度以為哪裡設定有問題。） ![幽默火絨4 但這樣又顯得花68大洋買指紋辨識器的我很幽默。 不知道萬能的好友列表裡有沒有懂電腦的大神有更好的解決方案。

有一個無線網卡，但效能不好。連接校園網時常要網頁驗證，我設了梯子開機自動啟動，掛著梯子就打不開學校網路驗證的網頁，得先關梯子->網頁驗證->開梯子->關TIM報錯彈窗->重啟TIM。讓人十分乃至九分的火大。

撥號上網程式

先新建文字文件（txt），寫入下面內容後儲存，更改檔名為想要的名稱（如reconnect internet，最好為英文），副檔名改為bat。

rasdial 你的寬頻網路名稱（如寬頻連線，最好用英文） 帳號（如學號） 密碼

開機自動撥號與斷網重連

Windows圖標（開始）右鍵->電腦管理->工作排程器->工作排程器程式庫 右邊建立工作->設定工作名稱（如斷網重連）->不管使用者是否登入都要執行->使用最高管理權限執行（可選）->不要隱藏！！！->設定根據自身電腦選（比如Windows11選擇最接近的Win10） 觸發程序->新增->開始工作選擇「啟動時」->確定（開機連網） 新增->開始工作選擇「發生事件時」->日誌翻到最下面倒數第二個「應用程式」->來源「RasClient」->確定（斷網重連） 轉到操作->新增->啟動程式->瀏覽找到你剛寫的bat程式選中->確認

確認（此時會要求輸入Windows系統登入的微軟帳號密碼，不是PIN，總是出錯建議檢查一般頁面裡的用戶帳戶是否匹配。）

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物理量

內能 U

Q為系統吸熱，W為系統對外做功

熵 S

熵是一種測量在動力學方面不能做功的能量總數，也就是當總體的熵增加，其做功能力也下降，熵的量度正是能量退化的指標。 ==可逆過程==中

Q：在一個可逆過程中，系統在恆溫情況下吸熱

焓 H

自由能 F

系統內能-不能做功的能量=能做功的能量（自由能）

吉布斯函數（自由焓）G

化學勢 $\mu$

其中：

• n：物質的量（$mol$）
• $G_m$：莫耳吉布斯函數

方程式

狀態函數全微分 (可逆過程)

內能全微分（熱力學基本方程）

即$U=U(S,V)$

$\because$ U二階偏導相等 $\therefore$ 得到第一麥氏關係：

焓全微分

自由能全微分

吉布斯函數全微分

熵全微分

馬克士威關係

馬克士威關係（Maxwell Relations）是在熱力學中描述狀態變量之間關係的重要方程。 以下是四個馬克士威關係：

1. 第一馬克士威關係:

   $$ \left ( \frac{\partial T}{\partial V} \right)_S = - \left ( \frac{\partial P}{\partial S} \right)_V $$

2. 第二馬克士威關係:

   $$ \left ( \frac{\partial T}{\partial P} \right)_S = \left ( \frac{\partial V}{\partial S} \right)_P $$

3. 第三馬克士威關係:

   $$ \left ( \frac{\partial S}{\partial V} \right)_T = \left ( \frac{\partial P}{\partial T} \right)_V $$

4. 第四馬克士威關係:

   $$ \left ( \frac{\partial S}{\partial P} \right)_T = -\left ( \frac{\partial V}{\partial T} \right)_P $$

   推論：

   $$ C_p-C_V=T(\frac{\partial p}{\partial T})_V(\frac{\partial V}{\partial T})_p $$

   對於理想氣體$pV=nRT$ 帶入得

   $$ C_p-C_V=nR,為常數 $$

物態方程

定義：溫度與狀態參量之間的函數關係方程。

理想氣體物態方程

• n：物質的量
• R：氣體常數
• N：系統總粒子數
• k：波茲曼常數

范德瓦爾茲方程

• a、b為常數

常見係數

體脹係數$\alpha$

壓強係數$\beta$

等溫壓縮係數$\kappa_T$

熱容C

定容熱容$C_V$

定壓熱容$C_p$

多方熱容$C_n$

理想氣體絕熱方程式

$\gamma$：[[#絕熱係數]] C：常數

==熱力學第二定律==

1. 兩條絕熱線不能相交
2. T：外界溫度
3. 當且僅當該過程為可逆過程時，外界溫度=系統溫度=T

可逆熱機效率$\eta$

[[#卡諾定理]]

• $T_2$：高溫熱源溫度
• $T_1$：低溫熱源溫度
• $0 \lt \eta \lt 1$

節流過程中的能量方程

對於節流過程，可以寫出以下能量平衡方程：

其中，$H_1$ 和 $H_2$ 分別是節流前後的焓。 證明： 系統絕熱，$\Delta U=W$ $U_2-U_1=p_1V_1-p_2V_2$ $U_2+p_2V_2=U_1+p_1V_1$ $H_2=H_1$

焦湯係數

[[#節流過程]]

開系的熱力學基本方程（$+\mu dn$）

內能全微分

焓全微分

自由能全微分

吉布斯函數全微分

巨熱力勢

克拉伯龍方程式

其中：

• $L=T(S_m^\beta-S_m^\alpha)$為相變潛熱。
• $S_m$ 為莫耳熵
• $s$ 為比熵（單位質量熵）
• $v$ 為比體積（單位質量體積）

艾倫菲斯特方程

在[[#二級相變]]中，克拉珀龍方程為 $\frac{0}{0}$ 不定式，應用洛必達法則，將分子、分母對 $𝑇$ 求偏導，得

也可以將分子、分母對 $𝑝$ 求偏導

上兩式即為Ehrenfest方程。

一級相變方程

公式

對於一級相變，在相變溫度 $T_c$ 處，吉布斯自由能 $G$ 本身是連續的，但其關於溫度和壓力的一階導數是存在不連續性的：

• $\left ( \frac{\partial G}{\partial T} \right)_P = -S$
• $\left ( \frac{\partial G}{\partial P} \right)_T = V$

在相變點 $T_c$，這些一階導數會有躍變：

其中，$S$ 是熵，$V$ 是體積，指數 1 和 2 表示相變前後的兩個相。

證明

一級相變的特徵在於，熱力學勢函數的某些一階導數在相變點存在不連續性。以熵為例：

1. 吉布斯自由能的連續性： 在相變溫度 $T_c$ 處，吉布斯自由能 $G$ 是連續的： $$ G_1 (T_c, P) = G_2 (T_c, P) $$
2. 熵的不連續性： 對 $G$ 取溫度的偏導數，得到熵的表達式： $$ S = -\left ( \frac{\partial G}{\partial T} \right)_P $$ 在 $T_c$ 處，熵的躍變為： $$ \Delta S = S_2 - S_1 = -\left ( \frac{\partial G_2}{\partial T} \right)_P + \left ( \frac{\partial G_1}{\partial T} \right)_P \neq 0 $$

這表明熵在相變點存在不連續性。

二級相變方程

公式

對於二級相變，在相變溫度 $T_c$ 處，吉布斯自由能 $G$ 及其一階導數（如熵和體積）是連續的，但其二階導數（如熱容、壓縮係數、熱膨脹係數）是不連續的：

• $\left ( \frac{\partial^2 G}{\partial T^2} \right)_P = \frac{\partial S}{\partial T} = \frac{C_P}{T}$
• $\left ( \frac{\partial^2 G}{\partial P^2} \right)_T = \frac{\partial V}{\partial P} = -\kappa_T V$

在相變點 $T_c$，這些二階導數會有躍變：

其中，$C_P$ 是定壓熱容，$\kappa_T$ 是等溫壓縮係數。

證明

二級相變的特徵在於，熱力學勢函數的某些二階導數在相變點存在不連續性。以熱容為例：

1. 熵的連續性： 在相變溫度 $T_c$ 處，熵 $S$ 是連續的： $$ S_1 (T_c, P) = S_2 (T_c, P) $$
2. 熱容的不連續性： 對熵取溫度的偏導數，得到熱容的表達式： $$ C_P = T \left ( \frac{\partial S}{\partial T} \right)_P $$ 在 $T_c$ 處，熱容的躍變為： $$ \Delta C_P = C_{P 2} - C_{P 1} = T \left ( \left ( \frac{\partial S_2}{\partial T} \right)_P - \left ( \frac{\partial S_1}{\partial T} \right)_P \right) \neq 0 $$

這表明熱容在相變點存在不連續性。

多元系吉布斯函數全微分

吉布斯相律

其中：

• $f$：多元複相系自由度，即獨立變化強度量數目
• $k$：組元數
• $\varphi$：相數

德布羅意關係

[[#德布羅意波]]

普朗克常數

約化普朗克常數（狄拉克常數）：

不確定關係

或

==一般地==，取

三維自由粒子量子態數

==暫時不考慮量子自旋==

粒子在宏觀大小容器內運動時，動量值與能量值是準連續的。

直角坐標動量表徵

求在體積 $V=L^3$ 內，在 $p_x$ 到 $p_x+dp_x$， $p_y$ 到 $p_y+dp_y$， $p_z$ 到 $p_z+dp_z$ 動量範圍內的自由粒子量子態數。 解法一： 由[[#三維自由粒子]]動量與量子數關係， 可能的 $p_x$ 數目為：

即用 $dp_x$ 表徵量子數 $dn_x$ 其他兩個方向同理。

解法二： 由[[#相格]]定義，三維自由粒子相格大小為 $\Delta q_1\cdots \Delta q_r\Delta p_1\cdots \Delta p_r\approx h^3$。題目中 $\mu$ 空間體積為 $d\Omega=Vdp_xdp_ydp_z$。 該體積能容納相格數即為自由粒子量子態數。

球坐標動量表徵

在體積 $V$ 內，動量大小在 $p$ 到 $p+dp$，方向在 $\theta$ 到 $d\theta$，$\varphi$ 到 $\varphi+d\varphi$ 範圍內，自由粒子可能狀態數為

共 $p,\theta,\varphi$ 三個量子數，對應三個自由度。

能量表徵

對 $\theta,\varphi$ 積分（$0 \lt \theta \lt \pi,0 \lt \varphi \lt 2\pi$）得：

此時動量任意方向，自由度為 1。 $\because$ $\varepsilon=\frac{p^2}{2m}$ $\therefore$ 在體積 $V$ 內，能量 $\varepsilon$ 到 $\varepsilon+d\varepsilon$ 範圍內，自由粒子可能量子態數為

其中 $D(\varepsilon)$ 表示單位能量間隔內可能狀態數，成為==態密度==。

考慮量子自旋

[[#自旋角動量]] 量子態數=以上求得的動量量子態數 * 粒子自旋可能狀態數 eg. 粒子自旋量子數為 $\frac{1}{2}$ ，$S_z=2s+1=1$，上式結果應該乘以 2 。

定義及定理

基礎定義

平衡態

平衡態的定義把握兩點：

1. 系統與外界無宏觀上的能量物質交換（區別於穩恆態）。可以有微觀上的能量物質交換。
2. 系統各部分宏觀性質長時間內不發生任何變化。平衡態是熱動平衡，存在漲落。

弛豫時間：一個系統從非平衡態恢復到平衡態所需的時間。

描述平衡態性質的方法：宏觀描寫

• 狀態參量：確定平衡態性質的宏觀變量
• 狀態函數：由狀態參量所確定的宏觀變量

廣延量和強度量

在熱力學中，均勻系統的宏觀變量可以分為兩類：廣延量和強度量。

廣延量（Extensive Variables）

廣延量是指依賴於系統規模或大小的熱力學變量。這些變量隨著系統的大小成比例地增加或減少。

• 質量（Mass）：整個系統的質量。
• 體積（Volume, V）：系統佔據的空間體積。
• 能量（Energy, E）：包括內部能量、動能和勢能。
• 熵（Entropy, S）：表示系統微觀狀態的不確定性和混亂度。
• 粒子數（Number of particles, N）：系統中粒子的總數。
• 熱量（Heat, Q）：系統所包含或傳遞的熱量。
• 電荷（Charge, Q）：系統中的電荷總量。

強度量（Intensive Variables）

強度量是指與系統的大小無關的熱力學變量，這些變量在系統內的任一點都保持一致，不隨系統規模而變化。

• 溫度（Temperature, T）：表示系統的熱狀態。
• 壓力（Pressure, P）：系統單位面積上所受的力。
• 化學勢（Chemical potential, μ）：系統中每增加一個粒子所需要的自由能。
• 濃度（Concentration）：單位體積內粒子的數量。
• 電場（Electric field, E）：單位電荷所受的力。
• 磁場（Magnetic field, H）：單位磁偶極子所受的力矩。

廣延量和強度量之間的關係

廣延量和強度量之間有著密切的聯繫。通常，廣延量可以通過強度量的乘積或積分來計算。例如：

• 內能（U）：可以通過系統的溫度、體積和粒子數來確定。
• 體積：可以通過系統內每個單元體的密度積分來計算。
• 熱量和功：是強度量（如溫度和壓力）與廣延量（如熵和體積變化）的乘積。

溫度

熱平衡定律：若物體A分別與B和C處於熱平衡，那麼B和C熱接觸後也一定處於熱平衡。

• 溫度的定義：互為熱平衡的物體必定存在一個屬於物體本身內在性質的物理量，定義它為溫度。
• 溫標：溫度的數值表示方法
• 三要素：測溫物質的測溫屬性，固定點和分度。

過程的功

準靜態過程：$W=\int_{V_1}^{V_2}pdV$ ，其中 $V_1$ 為系統初始體積，$V_2$ 為系統最終體積。

可逆過程：無耗散的準靜態過程

可逆過程外界對系統所作的功可以用系統本身的狀態參量來表達。

狀態空間：以各獨立狀態參量為座標軸構成的空間。

在狀態空間中，一個點代表系統的一個平衡態，一條曲線就代表一個準靜態過程。

過程方程：準靜態過程中，獨立狀態參量間的函數關係。

功的表達式（僅討論可逆過程）：

• 流體體積變化過程： −𝑝d𝑉
• 表面膜面積變化過程： 𝜎d𝐴
• 細彈性絲長度： 𝐹d𝐿
• 極化功（忽略電介質體積變化）：
• 磁化功（忽略磁介質體積變化）：

特殊非靜態過程的功：

• 等容 $𝑊=0$  
• 等壓 $𝑊=−𝑝 \Delta 𝑉$

卡諾定理

所有工作於兩個確定溫度之間的熱機中，可逆熱機效率最高。 推論：兩個可逆熱機工作溫度相同，則效率相等。 [[#可逆熱機效率$ eta$]]

熵增加原理

在絕熱條件下，熵減少的過程是不可能實現的（熵永不減少）。

證明：由熱力學第二定律：

絕熱系統$dQ$=0，則$dS\ge 0$

推論：孤立（絕熱）系統不可逆過程總是朝著熵增加的方向進行，即$dS \gt 0$。

節流過程

在熱力學中，節流過程（Throttling Process）是一種常見的絕熱過程，通常用於理解氣體或液體在通過一個孔口、閥門或多孔塞子時的行為。

節流過程的特徵

1. 絕熱性：節流過程通常被認為是絕熱的，因為在快速流動過程中沒有足夠的時間進行熱量交換。
2. 等焓性：最重要的特徵是節流過程是等焓過程，即焓（Enthalpy，$H$）在節流前後保持不變。這個特性在節流過程中起主要作用。[[#節流過程中的能量方程]]
3. 不可逆性：節流過程是不可逆過程，系統的熵通常會增加。
4. 壓力下降：在節流過程中，流體的壓力會顯著下降。

焓與溫度、壓力的關係

對於理想氣體，焓僅僅是溫度的函數，因此節流過程對於理想氣體來說溫度保持不變（焦耳-湯姆遜效應的特殊情況）。但是對於實際氣體，情況更加複雜，溫度可能會增加或降低，取決於氣體的==焦耳-湯姆遜係數==（Joule-Thomson coefficient，[[#焦湯係數]]），它定義為：

• 如果 $\mu_{JT} \gt 0$，氣體溫度在節流過程中下降。
• 如果 $\mu_{JT} \lt 0$，氣體溫度在節流過程中上升。

節流過程的應用

節流過程在許多工業應用中非常重要，例如：

• 制冷系統：利用節流閥（如膨脹閥）來降低制冷劑的溫度和壓力，從而實現冷卻效果。
• 氣體分離：通過節流使某些氣體冷卻至液化溫度，從而分離出不同成分的氣體。

特性函數

特性函數（也稱為熱力學勢函數或熱力學勢）是用來描述熱力學系統狀態的函數，透過這些函數可以導出各種熱力學性質和關係。 主要的特性函數有四種：內能、亥姆霍茲自由能、焓和吉布斯自由能。

• 內能$U(S,V)$：絕熱等容系統，U 不變
• 焓$H(S,p)$：絕熱等壓系統，H 不變
• 自由能$F(T,V)$：等溫等容，F 不變
• 吉布斯函數$G(T,p)$：等溫等壓，G 不變

輻射

平衡輻射

平衡輻射（Equilibrium Radiation）是指在熱力學平衡狀態下，系統的電磁輻射特性。此時，系統內的輻射與吸收過程達到動態平衡，電磁輻射的頻譜和強度僅由系統的溫度決定。

平衡輻射的特徵

1. 熱平衡：
   • 系統處於熱平衡狀態，即系統的各部分溫度均勻，沒有淨的熱流動。
2. 黑體輻射：
   • 在熱平衡狀態下，輻射具有黑體輻射的特徵。黑體輻射是理想化的完全吸收和再輻射所有頻率的輻射，光譜僅依賴於溫度。

輻射通量密度

輻射通量密度（Radiative Flux Density），也稱為輻射出射度或輻射強度，是指單位時間內通過單位面積的輻射能量。它是描述輻射場的重要物理量，在熱力學、氣象學、天文學等領域有廣泛應用。

定義

輻射通量密度E表示為：

其中：

• E是輻射通量密度，單位是瓦特每平方米（$W/m^2$）。
• $d\Phi$ 是通過面積 $dA$ 的輻射能量通量，單位是瓦特（$W$）。
• $dA$ 是面積，單位是平方米（$m^2$）。

==或==

其中：

• $c$：光速
• $u$：輻射能量密度，$u=\frac{U}{V}$，單位體積平衡輻射能量

斯特藩-波茲曼定律中的應用

對於一個理想黑體，其輻射通量密度與其溫度的四次方成正比，這由斯特藩-波茲曼定律描述：

其中：

• $E$ 是黑體的輻射通量密度。
• $\sigma$ 是斯特藩-波茲曼常數，值為 $5.67 \times 10^{-8} \, W \, m^{-2} \, K^{-4}$。
• $T$ 是黑體的絕對溫度，單位是克耳文（$K$）。

輻射通量密度的方向性

輻射通量密度是一個向量量，考慮其方向性時稱為輻射強度 $I$，表示為單位立體角上的輻射通量密度：

其中：

• $I$ 是輻射強度，單位是瓦特每平方米每立體角（$W/m^2/sr$）。
• $d\Omega$ 是立體角，單位是球面度（sr）。
• $\theta$ 是輻射方向與法線之間的夾角。

黑體輻射（空窖輻射）

黑體輻射（Blackbody Radiation）是指一個理想化的物體（稱為黑體）在熱平衡狀態下發出的電磁輻射。黑體是一個理想化的概念，它具有完全吸收和完全輻射所有頻率電磁波的能力。黑體輻射的特性只取決於黑體的溫度，而與其材料或表面性質無關。

黑體輻射的特徵

1. 完全吸收：
   • 黑體可以完全吸收所有入射的電磁輻射，無論波長或方向如何。因此，黑體在所有波長上沒有反射或透射。
2. 完全輻射：
   • 黑體在任何溫度下都發出電磁輻射，且在所有波長上都有輻射。這種輻射僅由黑體的溫度決定。

黑體輻射的實際應用

1. 宇宙背景輻射：
   • 宇宙微波背景輻射近似為一個溫度為 2.725 K 的黑體輻射，是大爆炸理論的重要證據。
2. 恆星光譜：
   • 恆星的輻射近似為黑體輻射，通過分析恆星的光譜，可以推算出其表面溫度。
3. 紅外測溫：
   • 利用黑體輻射原理，通過測量物體輻射出的紅外線強度，可以推算出其表面溫度。
4. 熱成像：
   • 熱成像設備利用黑體輻射原理，檢測物體表面輻射的紅外線來形成溫度圖像。

熱動平衡判據

孤立系統

孤立（絕熱）系統 S 增大或不變，平衡態時$S_\max$。 若發生微動，$\Delta S \lt 0$，將其展開為二階泰勒級數$\Delta S=\delta S+\frac{1}{2}\delta^2 S$ 平衡時，滿足$\delta S=0,\delta^2 S \lt 0$

等溫等容系統

等溫等容系統 F 減小或不變，平衡態時$F_\min$。 若發生微動，$\Delta F \gt 0$，將其展開為二階泰勒級數$\Delta F=\delta F+\frac{1}{2}\delta^2 F$ 平衡時，滿足$\delta F=0,\delta^2 F \gt 0$

等溫等壓系統

等溫等壓系統 G 減小或不變，平衡態時$G_\min$。 若發生微動，$\Delta G \gt 0$，將其展開為二階泰勒級數$\Delta G=\delta G+\frac{1}{2}\delta^2 G$ 平衡時，滿足$\delta G=0,\delta^2 G \gt 0$

單元兩相系平衡條件

相變分類

[[#艾倫菲斯特方程]] 艾倫菲斯特（Paul Ehrenfest）對相變進行了分類，依據的是熱力學勢函數在相變點的連續性和導數的連續性。 艾倫菲斯特將相變分為一級相變和二級相變。

一級相變

一級相變（First-order phase transition）是指在相變過程中，熱力學勢函數（如吉布斯自由能）的一階導數（如熵、體積）在相變點處是不連續的。

典型的一級相變包括熔化、汽化和昇華等。 [[#一級相變方程]]

二級相變

二級相變（Second-order phase transition）是指在相變過程中，熱力學勢函數的一階導數在相變點處是連續的，但其二階導數存在不連續性。

典型的二級相變包括超導體的轉變和液晶相變等。 [[#二級相變方程]]

多元系複相平衡條件

等溫等壓系統平衡條件

其它系統同理

吉布斯悖論

描述：由性質任意接近的兩種氣體過渡到同種氣體，熵增由 $2nR\ln 2$ 突變為 0。
原因：全同粒子不可分辨。

熱力學第三定律

能斯特定理

凝聚系的熵在等溫過程中的改變隨熱力學溫度趨於零。

絕對零度不能到達原理

不可能通過有限步驟使一個物體冷卻到熱力學零度。

推論

1. $\lim_{T \to 0}C_n=0$ 愛因斯坦量子統計在[[#固體]]這裡證明了該推論。
2. $\lim_{T \to 0}\alpha=0,\lim_{T \to 0}\beta=0$
3. 絕對零度時熵取值可以為 0

粒子運動狀態經典描述

$\mu$空間

用位置座標和動量座標描述粒子力學運動狀態。$q_1,q_2,...,q_r;p_1,p_2,...,p_r$ 共 2 r 個變量為直角座標構成 2 r 維空間，成為 $\mu$ 空間。

粒子自由度：確定一個粒子在空間位置==或==位形位置所需最少座標數。

相格

粒子運動狀態在 $\mu$ 空間的體積

自由度為 $r$ 的粒子，相格大小為$\Delta q_1\cdots \Delta q_r\Delta p_1\cdots \Delta p_r$ 當其滿足[[#不確定關係]] $\Delta q_i\Delta p_i\approx h$，相格大小 $\approx h^r$

自由粒子

自由粒子是不受力的作用而作自由運動的粒子。 當不存在外場時，理想氣體的分子或金屬中的自由電子都可近似地看作自由粒子。

自由粒子動量：$p_x=m\dot{x}$，粒子 x 軸方向動量。其中 m 為粒子質量，$\dot{x}$為粒子 x 軸方向速度（位置對時間求一階導）。 自由粒子能量：

線性諧振子

經典力學告訴我們，質量為 $m$ 的粒子在彈性力 $F = -Ax$ 作用下，將沿 $x$ 軸在原點附近作簡諧振動，稱為線性諧振子。

• 振動的圓頻率： $$\omega=\sqrt{\frac{A}{m}}$$
• $A$：彈性係數

自由度為 1 的線性諧振子能量

動能和勢能之和

寫成橢圓方程標準式

轉子（自由度為 2）

考慮質量為 $m$ 的質點 $P$ 被具有一定長度的輕桿繫於原點 $O$ 時所作的運動。

• 在直角座標系中，質點的位置由座標 $x,y,z$ 確定。

質點能量（動能）：

• 用球極座標 $r,\theta,\varphi$ 描述質點的位置：$x=r\sin \theta \cos \varphi,y=r\sin \theta \sin \varphi,z=r\cos \theta$

質點能量：

• 引入共軛動量$p_\theta=mr^2\dot{\theta},p_\varphi=mr^2\sin^2\theta \dot{\varphi}$，質點對 $O$ 轉動慣量 $I$
• $0 \lt \theta \lt \pi,0 \lt \varphi \lt 2\pi$，兩個自由度

雙原子分子

二體問題可以約化為單體問題，在統計物理中，將雙原子分子繞其質心的轉動看作轉子。

根據經典力學，在沒有外力作用的情形下，轉子的總角動量 $\vec L=\vec r\times \vec p$ 是一個守恆量，其大小和方向都不隨時間改變。由於 $\vec r$ 垂直於 $\vec L$ ，質點的運動是在垂直於 $\vec L$ 的平面內的運動。如果選擇 $z$ 軸平行於 $\vec L$，質點的運動必在 $xy$ 平面內。這相當於固定$\theta=\frac{\pi}{2},p_\theta=0$。 此時粒子能量：

其中：$L^2=\vec{L}\cdot \vec{L}$ 此時，粒子自由度為 1，即 $\varphi$

粒子運動狀態量子描述

德布羅意波

微觀粒子（光子、電子、質子、中子乃至原子、分子等）普遍地具有波粒二象性。 能量為 $\varepsilon$、動量為 $\vec{p}$ 的自由粒子聯繫著圓頻率為 $\omega$ 波矢為 $\vec{k}$ 的平面波，稱為德布羅意波。

[[#德布羅意關係]]

量子態

在量子力學中，微觀粒子的運動狀態稱為量子態。 量子態由一組量子數表徵，這組量子數的數目等於粒子的自由度。

==線性諧振子能量==

[[#自由度為 1 的線性諧振子能量]] ==量子物理==中，圓頻率為 $\omega$ 的線性諧振子，其能量的可能值為：

n 為振子運動狀態與能量的量子數，只有一個，即線性諧振子自由度為 1。 顯然，$\varepsilon_n$的值是分立的。

能階

分立的能量稱為能階。

$\mu$ 空間中能量相等的曲面為==等能面==，等能面間不連續，因此每個等能面稱為能階。 [[#$ mu$空間]]

轉子能量

[[#雙原子分子]] 在量子物理中，$L^2$的值只能取分立值：

對於一定的 $L$ 角動量在其本徵方向（取為 $z$ 軸）的投影 $L_z$ 只能取分立值：

顯然，$m_l$有$2l+1$個可能取值。

自由度為 2 的轉子運動狀態由 $l,m_l$ 兩個量子數表徵。 在經典理論中，運動平面在空間的取向是任意的，而在量子理論中，$m_l$ 只能取上述分立值，稱為空間量子化。

故轉子能量也分立：

簡併度$\omega_l$

$\because$ 觀察到：能量只取決於量子數 $l$，量子態取決於 $m_l,l$ 兩個量子數 $\therefore$ 能階為$\varepsilon_l$ 的量子態有 $2l+1$ 個

一般地說，如果某一能階的量子狀態不止一個，該能階就稱為簡併的。 如果某一能階只有一個量子態，該能階稱為非簡併的。 一個能階有 k 個量子態，則簡併度為 k

兩個相鄰[[#能階]]間佈滿若干[[#相格]]，相格的數目為能階的簡併度。

自旋角動量

某些基本粒子具有內稟的角動量，稱為自旋角動量$S$。

$s$：==自旋量子數==。可為整數或半整數，是粒子固有屬性，可相加計算。[[#玻色子與費米子]] 自旋角動量的狀態由自旋角動量的大小（自旋量子數 $s$）及自旋角動量在其本徵方向的投影確定。以 $z$ 表示本徵方向，$S_z$ 的可能值為

共$2s+1$個。

自由粒子能量

邊界條件

為了確定粒子可能的運動狀態，需要知道德布羅意波在器壁的邊界條件。 通常採用駐波條件或週期性邊界條件。

對於一維自由粒子，處於長度為 $L$ 的一維容器中，週期性邊界條件要求，粒子可能的運動狀態，其德布羅意波波長 $\lambda$ 的整數倍等於容器的長度 $L$。即

• $n_x$：量子數 $n$ 在 $x$ 方向的投影。對於一維自由粒子，量子數即為 $n_x$。

一維自由粒子

• 波矢量 $k_x$： $$ k_x=\frac{2\pi}{L}n_x,n_x=0,\pm 1,\pm 2,\cdots $$
• 動量 $p_x$： $$ p_x=\frac{2\pi\hbar}{L}n_x,n_x=0,\pm 1,\pm 2,\cdots $$
• 能量 $\varepsilon_{n_x}$ $$ \varepsilon_{n_x}=\frac{p_x^2}{2m}=\frac{2\pi^2\hbar^2}{m}\cdot\frac{n_x^2}{L^2},n_x=0,\pm 1,\pm 2,\cdots $$

三維自由粒子

• 動量： $$ \begin{cases} p_x=\frac{2\pi\hbar}{L}n_x,n_x=0,\pm 1,\pm 2,\cdots\\ p_y=\frac{2\pi\hbar}{L}n_y,n_y=0,\pm 1,\pm 2,\cdots\\ p_z=\frac{2\pi\hbar}{L}n_z,n_z=0,\pm 1,\pm 2,\cdots \end{cases} $$
• 能量： $$ \varepsilon=\frac{1}{2m}(p_x^2+p_y^2+p_z^2)=\frac{2\pi^2\hbar^2}{m}\frac{n_x^2+n_y^2+n_z^2}{L^2} $$
• 量子數：$n_x,n_y,n_z$ 共三個，即三個自由度
• 能階：取決於 $n_x^2+n_y^2+n_z^2$

系統微觀運動狀態的描述

微觀狀態

系統的微觀運動狀態就是它的力學運動狀態。 體現為粒子佔據不同能級的不同相格的一種佔據方式。

系統

==只限於討論由全同和近獨立粒子組成的系統==

• 由全同粒子組成的系統：由具有完全相同的內稟屬性（相同的質量、電荷、自旋等）的同類粒子組成的系統。 如自由電子組成的自由電子氣體，$^4He$ 原子組成的氦氣等。 ^f1b50b
• 由近獨立粒子組成的系統：粒子之間的相互作用很弱，相互作用的平均能量遠小於單個粒子的平均能量，因而可以忽略粒子之間的相互作用，將整個系統的能量表達為單個粒子的能量之和。 如理想氣體組成的系統。 ^24ebad $$ E=\sum^{N}_{i=1}\varepsilon_i $$ 其中：
• $\varepsilon_i$：第 i 個粒子能量
• $N$：粒子總數

經典力學描述

在經典物理中，全同粒子 [[#^f1b50b]] 是可以分辨的。 確認系統微觀運動狀態需要確認每個粒子力學運動狀態（個體量子態）。

變量數：$2Nr$ $r$：單個粒子自由度

玻色子與費米子

自然界中微觀粒子可分為兩類，稱為玻色子和費米子。

[[#自旋角動量]]

費米子

自旋量子數為半整數

如：電子，質子，中子，$\mu$ 子（都為 $\frac{1}{2}$）；$^2H$ 原子，$^3H$ 核（$\frac{3}{2}$）等。

玻色子

自旋量子數為整數

如：光子（1），$\pi$ 介子（0），$^1H$ 原子（1），$^4He$ 原子（4）等。

泡利不相容原理

在含有多個全同近獨立的費米子的系統中，一個個體量子態最多能容納一個費米子。

分佈

每一個能級上的粒子數組成的集合，該集合稱為分佈。

$a_l$：能級 $\varepsilon_l$ 上的粒子數 滿足：

一個分佈包含大量可能微觀狀態，一個微觀狀態對應一個分佈。

三種系統

玻爾茲曼系統

由==可分辨==的全同 [[#^f1b50b]]近獨立粒子[[#^24ebad]] 組成，且處在一個個體量子態上的粒子數不受限制的系統稱作玻耳茲曼系統。

玻色系統

由玻色子組成的系統，不受泡利不相容原理的約束。 由多個全同近獨立的玻色子組成的玻色系統中，處在同一個個體量子態的玻色子數目是不受限制的。

費米系統

由費米子組成的系統，遵從泡利（Pauli）不相容原理。

三種統計

玻爾茲曼統計（經典統計）

全同粒子可分辨，每個相格可容納粒子數不受限制。

玻色統計

全同粒子不可分辨，每個相格可容納粒子數不受限制。

費米統計

全同粒子不可分辨，每個相格最多容納一個粒子。

等概率原理

對於處在平衡狀態的孤立系統，系統各個可能的微觀狀態出現的概率是相等的。

最概然分佈

根據等概率原理，對於處在平衡狀態的孤立系統，微觀狀態數最多的分佈出現的概率最大，稱為最概然分佈。

玻爾茲曼分佈

玻耳茲曼系統粒子的最概然分佈，稱為馬克士威-玻耳茲曼分佈，簡稱玻耳茲曼分佈。

• 近似等式：$\ln m!=m (\ln m-1),m\gg 1$
• 將 $\Omega_{m.B.}$ 簡記為 $\Omega$ 玻爾茲曼統計下，該分佈包含微觀狀態最多，微觀狀態數 $\Omega$ 最大。 $$ a_l=\omega_le^{-\alpha-\beta\varepsilon_l}=e^{-\alpha-\beta\varepsilon_l}\frac{\Delta\omega_l}{h_0^r} $$ 後式為==玻爾茲曼分佈經典表達式== $$ N=\sum_la_l=\sum_l\omega_le^{-\alpha-\beta\varepsilon_l}=\sum_se^{-\alpha-\beta\varepsilon_s} $$ $$ E=\sum_l\varepsilon_la_l=\sum_l\omega_l\varepsilon_le^{-\alpha-\beta\varepsilon_l}=\sum_s\varepsilon_se^{-\alpha-\beta\varepsilon_s} $$ $$ f_s=\frac{a_l}{\omega_l}=e^{-\alpha-\beta\varepsilon_l} $$
• $a_l$：能級 $\varepsilon_l$ 最概然粒子數（平均粒子數），應滿足條件 $a_l\gg 1$
• $\alpha$：拉格朗日乘子
• $\beta$：拉格朗日乘子，一般由實驗條件確定
• $\omega_l$：能級 $\varepsilon_l$ 上的量子態數，即簡併度。應滿足條件 $\omega_l\gg 1$
• $s$：能級 $\varepsilon_l$ 上的一個量子態
• $\sum_l$：對量子數 $l$ 求和
• $\sum_s$：對所有量子態求和
• $f_s$：量子態 $s$ 上的平均粒子數

玻色分佈

玻色系統中粒子的最概然分佈，稱為玻色-愛因斯坦（Einstein）分佈，簡稱玻色分佈。

費米分佈

費米系統的最概然分佈。

三種分佈關係

若 $\alpha$ 滿足條件（[[#經典極限條件]]，非簡併性條件）

則玻色分佈與費米分佈式中 $\pm$ 可忽略，兩種分佈都過渡到玻爾茲曼分佈。 此時，對所有 $l$，有

定域

• 自然界中有些系統可以看作由定域的粒子組成。 例如，晶體中的原子或離子定域在其平衡位置附近作微振動。
• 這些粒子雖然就其量子本性來說是不可分辨的，但可以根據其位置而加以區分，故可以將==定域粒子==看作可以分辨的粒子。
• 由定域粒子組成的系統，稱為定域系統。 如順磁性固體和核自旋系統。

定域系統和滿足經典極限條件的玻色 (費米) 系統都遵從玻耳茲曼分佈。 但他們的微觀狀態數是不同的。

熱力學量的統計表達式

內能

粒子配分函數

簡稱配分函數

適用範圍：近獨立粒子系統，粒子可分辨，每個相格（量子態）可容納粒子數不受限制。

由以上三式消去 $\alpha$ 得==內能的統計表達式==：

內能全微分

• $\sum_la_ld\varepsilon_l$ ：粒子分佈不變時，由於外參量改變導致的能級改變而引起的內能變化，即過程中外界對系統所做的功。
• $\sum_l\varepsilon_lda_l$ ：粒子能級不變時，由於粒子分佈改變所引起的內能變化，即過程中系統從外界吸收的熱量。
• 在無窮小的準靜態過程中，系統從外界吸收的熱量等於粒子在各能級重新分佈所增加的內能。 顯然，熱量沒有微觀量，是在熱現象中所特有的宏觀量。 $dQ$ 不是全微分而只是一個無窮小量。

熵

$\beta$ 是溫度的函數，令

• $k$：波茲曼常數，$k=1.381\times10^{-23}J\cdot K^{-1}$
• $N_A$：亞佛加厥常數，$N_A=6.022\times10^{23}mol^{-1}$
• $R$：莫耳氣體常數，$R=8.314J\cdot K^{-1}\cdot mol^{-1}$

積分得：

積分常量選擇為 0 。

由波茲曼分佈

可得

化簡熵得

波茲曼關係

某個宏觀狀態對應的微觀狀態數越多，它的混亂度就越大，熵也越大。

• 對於粒子可分辨系統（定域系統），$\Omega=\Omega_{M.B.}$
• 對於滿足經典極限條件的玻色（費米）系統，$\Omega=\frac{\Omega_{M.B.}}{N!}$

自由能

理想氣體物態方程

經典極限條件

[[#三種分布關係]]

1. $N/V$ 越小，氣體越稀薄；
2. 溫度 $T$ 越高；
3. 分子質量 $m$ 越大 經典極限條件越容易滿足。 另一種表述： $$ n\lambda^3=e^{-\alpha}\ll 1 $$

馬克士威速度分佈律

一般情形下，氣體滿足經典極限條件。

根據波茲曼分佈研究氣體分子質心的平移運動，導出氣體分子的速度分佈律。

馬克士威速度分佈率

$f(v_x,x_y,x_z)$ 應滿足

$n=\frac{N}{V}$：單位體積內分子數

馬克士威速率分佈律

以球極座標體積元 $v^2\sin \theta dv d \theta d \varphi$ 代替直角座標體積元 $dv_xdv_ydv_z$ ，對 $\theta,\varphi$ 積分得，在單位體積內，速率在 $dv$ 範圍內的分子數為

上式稱為氣體分子速率分佈。

最概然速率$v_p$

速率分佈函數有一極大值，使速率分佈函數取極大值的速率稱為最概然速率。 如果把速率分為相等的間隔，$v_p$ 所在的間隔分子數最多。

平均速率 $\overline{v}$：速率 $v$ 平均值

方均根速率 $v_s$：$v^2$ 的平均值的平方根

$M$：莫耳質量

碰壁數（洩流）

單位時間內碰到單位面積器壁上的分子數，稱為碰壁數。 單位時間從器壁上單位面積空洞逃逸的粒子數，稱為洩流。 顯然：碰壁數=洩流

$dA$ 是器壁上的一個面積元，法線方向沿 $x$ 軸，以 $d\varGamma dA dt$ 表示在 $dt$ 時間內，碰到 $dA$ 面積，速度在 $dv_xdv_ydv_z$ 範圍內的分子數。

對速度積分，

得

能量均分定理（古典統計）

對於處在溫度為 $T$ 的平衡狀態的古典系統，粒子能量中每一個獨立的平方項的平均值等於 $\frac{1}{2}kT$。

單原子分子氣體

上式有三個平方項，應用能量均分定理得：

故單原子分子理想氣體內能為

由熱力學公式 $C_p-C_V=Nk$ 求得定壓熱容：

絕熱係數

[[#理想氣體絕熱方程]]

雙原子分子氣體

雙原子分子能量有五個平方項（分子三個方向動量，兩原子間運動可約化為轉子，兩個自由度，即兩個平方項）。

固體

固體中的原子可以在其平衡位置附近作微振動。 假設各原子的振動是相互獨立的簡諧振動。 固體原子模型化簡為三維線性振子。

原子在一個自由度上的能量為

共兩個平方項。 一個原子平均能量為

固體內能為

定容熱容為

實驗室通常測量 $C_p$，由熱力學公式

可求得 $C_V$。 室溫和高溫下 $C_V$ 符合，低溫範圍固體熱容隨溫度降低得很快，古典理論不能解釋。 [[#絕對零度不能到達原理]]

金屬

金屬中存在自由電子，如果將能量均分定理應用於電子，自由電子的熱容與離子振動的熱容將具有相同的量級。 實驗結果是，在 $3K$ 以上，自由電子的熱容與離子振動的熱容相比，可以忽略不計。

定域/滿足經典極限條件的近獨立粒子系統的量子統計

雙原子理想氣體

理想氣體是==非定域系==，由於滿足[[#經典極限條件]]可用玻耳茲曼分佈進行討論。

在一定近似下，雙原子分子運動可分為平動$t$、振動$v$、轉動$r$。

平動能量

與由經典統計的能量均分定理得到的結果一致。

振動能量與特徵溫度

$U^v$ ：

• 第一項與溫度無關，是 $N$ 個振子的==零點能量==。
• 第二項是溫度為 $T$ 時 $N$ 個振子==熱激發能量==。

引入==振動特徵溫度== $\theta_v$ ，滿足

帶入上面方程組得

$\because$ ==雙原子分子特徵溫度==是 $10^3K$ 數量級 $\therefore$ 在常溫範圍內，$T\ll \theta_v$ 。在常溫範圍，振動自由度對熱容的貢獻接近於零。 常溫範圍，雙原子分子的振動能級間距 $\hbar \omega$ 遠大於 $kT$，由於能級分立，振子必須取得能量 $\hbar \omega$ 才有可能躍遷到激發態。

• 在 $T \ll \theta_v$ 的情形下，振子取得 $\hbar \omega$ 的熱運動能量而躍遷到激發態的概率是極小的。因此平均而言，幾乎全部振子都凍結在基態。 當氣體溫度升高時，它們也幾乎不吸收能量（無法向高能級躍遷）。這就是在==常溫下振動自由度不參與能量均分==的原因。
• 在 $T \gg \theta_v$ 的情形下，$C_V^v \to Nk$ （取極限洛必達可證明）。

轉動能量

轉動能級

簡併度

配分函數

轉動特徵溫度

==常溫時== $\frac{\theta_r}{T}\ll 1$ ，積分得

由此得

符合經典統計。

異核雙原子分子

單原子理想氣體

熵

==單原子理想氣體==

用近似式 $\ln N!=N(\ln N-1)$ 化簡得

上式熵為廣延量，且為絕對熵。

蒸汽壓方程

薩克-特多魯特（Sackur-Tetrode）公式

化學勢

$\because$ 對於理想氣體，$\frac{N}{V}(\frac{h^2}{2\pi mkT})^3/2\ll 1$ $\therefore$ ==理想氣體化學勢為負==。

固體

固體中原子的熱運動可以看成 $3N$ 個振子的振動。愛因斯坦假設這 $3N$ 個振子的頻率都相同。 以 $\omega$ 表示振子的圓頻率，振子的能級為

配分函數

內能

熱容

引入==愛因斯坦特徵溫度== $\theta_E=\frac{\hbar \omega}{k}$，則熱容改寫為

• 當 $T \gg \theta_E$ 時，可以取近似 $e^{\theta_E/T}-1\approx \theta_E/T$，得 $$ C_V=3Nk $$ 和能量均分定理的結果一致。 此時能級間距遠小於 $kT$ ，能量量子化效應可忽略。
• 當 $T \ll \theta_E$ 時，有近似 $e^{\frac{\theta_E}{T}}-1 \approx e^{\frac{\theta_E}{T}}$， $$ C_V=3Nk(\frac{\theta_E}{T})^2e^{-\frac{\theta_E}{T}} $$ $T \to 0$ 時，$C_V \to 0$。 證明了熱力學第三定律[[#推論]]。

順磁性固體

玻色/費米系統

[[#玻色系統]]，[[#費米系統]]。

玻色系統巨配分函數

平均粒子數

內能

費米系統巨配分函數

平均粒子數

內能

廣義力

物態方程

熵

巨熱力勢

[[#巨熱力勢]]

拉格朗日乘子

玻色-愛因斯坦凝聚

系統性質

考慮由 $N$ 個全同、近獨立的玻色子組成的系統，溫度為 $T$ 體積為 $V$ 為明確起見，假設粒子的自旋為零。

根據玻色分佈，每條能級上粒子數為

$\because$ 能級上粒子數不能取負值 $\therefore$ 以 $\varepsilon_0$ 表示最低能級，$\varepsilon_0 \gt \mu$ 。 若最低能級為 0，則 $\mu \lt 0$。

化學勢

玻色系統化學勢小於 0，化學勢既隨溫度的降低而升高，當溫度降到某一臨界溫度 $T_C$ 時，$\mu \to 0$ 。 $T_C$ 由下式確定

凝聚現象

$T \le T_C$ 時，聚集在最低能級 $\varepsilon=0$ 上的==粒子數密度==為

在絕對零度下，粒子將盡可能佔據能量最低的狀態。對於玻色子，一個量子態所能容納的粒子數目不受限制，因此在絕對零度下，玻色粒子將全部處在 $\varepsilon=0$ 的最低能級。 上式表明，

在 $T \lt T_C$ 時，就有宏觀量級粒子在最低能級凝聚，這一現象稱為==玻色-愛因斯坦凝聚==

當 $T=T_C$ 時，$C_V$ 取得最大值 $1.925Nk$ 。 當溫度足夠高時，

理想玻色氣體出現凝聚的臨界條件

$\lambda$ ：原子熱波長

光子氣體（玻色氣體）

根據粒子的觀點，可以把空窖內的輻射場看作光子氣體。 空窖內的輻射場可以分解為無窮多個單色平面波的疊加。

根據[[#德布羅意關係]]，及光子 $\omega=ck$，得==光子能量動量關係==

• 光子是玻色子，自旋量子數為 1，達到平衡後遵從玻色分佈。
• 由於窖壁不斷發射和吸收光子，光子氣體中光子數是不守恆的。在導出玻色分佈時只存在 $E$ 是常量的條件而不存在 $N$ 是常量的條件，因而只應引進一個拉格朗日乘子 $\beta$。$\alpha=0$。

光子氣體統計分佈

熱力學勢

由

得光子氣體熱力學勢 $\mu=0$ 。

量子態數

光子的自旋量子數為 1，自旋在動量方向的投影可取 $\pm \hbar$ 兩個可能值，相當於左、右圓偏振。考慮到光子自旋有 2 個投影，由[[#三維自由粒子量子態數]]中的[[#能量表徵]]可知，

在體積為 $V$ 的空窖內，在 $p$ 到 $p+dp$ 的動量範圍內，

光子的量子態數為

在體積為 $V$ 的空窖內，在 $\omega$ 到 $\omega+d \omega$ 的圓頻率範圍內，

光子的量子態數為

內能分佈函數

在體積為 $V$ 的空窖內，在 $\omega$ 到 $\omega+d \omega$ 的圓頻率範圍內，

平均光子數

輻射場內能

瑞利-金斯公式

在 $\frac{\hbar \omega}{kT}\ll 1$ 的低頻範圍內，$e^{\frac{\hbar \omega}{kT}}\approx 1+\frac{\hbar \omega}{kT}$ ，上式可近似為

上式即為==瑞利-金斯公式==，低頻擬合較好而高頻發生紫外災難。

維恩公式

在 $\frac{\hbar \omega}{kT}\gg 1$ 的高頻範圍內，$e^{\frac{\hbar \omega}{kT}}-1\approx e^{\frac{\hbar \omega}{kT}}$ ，上式可近似為

上式與維恩公式複合，高頻擬合好而低頻差。

在體積為 $V$ 的空窖內

平衡輻射內能為

巨配分函數

光子氣體內能

與[[#內能分佈函數]]一致

壓強

比較上兩式有

熵

$T \to 0$ 時，$S \to 0$，符合 [[#熱力學第三定律]]

輻射通量密度

由[[#輻射]]中求得的[[#輻射通量密度]]公式

根據[[#碰壁數（泄流）]]概念求得光子氣體輻射通量密度

金屬中的自由電子氣體（費米氣體）

金屬中的自由電子形成強簡併的費米氣體。

平均電子數

根據費米分布，溫度為 $T$ 時，處在能量為 $\varepsilon$ 的一個量子態上平均電子數為

電子自旋在其動量方向的投影有 2 個可能值，根據[[#三維自由粒子量子態數]]中的[[#能量表徵]]，

在體積 $V$ 內，在 $\varepsilon$ 到 $\varepsilon+d \varepsilon$ 的能量範圍內，電子的量子態數為

故此範圍內平均電子數為

總電子數

對 $d \varepsilon$ 積分得

在給定電子數 $N$ 、溫度 $T$ 和體積 $V$ 時，可根據上式確定化學勢 $\mu$ 。

$T=0$ 時系統性質

每個量子態平均電子數

費米能級

零溫化學勢也稱費米能級，$\mu(0)$，即 $T=0$ 時化學勢。

由

可得

費米動量

令

可得

該動量稱為==費米動量==。

費米速率

該速率稱為==費米速率==。

費米溫度

該溫度稱為==費米溫度==。

電子氣體內能

電子平均能量

電子氣體壓強

玻色氣體與費米氣體在 $T=0$ 下比較

與理想玻色氣體在絕對零度下粒子全部處於能量、動量為零的狀態且壓強為零完全不同，費米氣體在絕對零度下具有很高的平均能量、動量，並產生很大的壓強。

本文2024-06-06首發於孤筝の温暖小家，最後修改於2024-06-06

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作者：孤筝（lvbowen040427@163.com）

實數基礎讀書報告

藉著這次數學分析大作業的機會來談談實數的建立。

實數的建立是數學基礎理論的一部分，涉及許多數學分支，包括數學邏輯、集合論、代數結構等。數學家們透過對這些基本概念和性質的嚴密推導，構建了實數系統，為數學的發展提供了堅實的基礎。這個過程在數學史上經歷了漫長的發展，由許多數學家共同貢獻。

1. 書籍資訊

1.1 Mathematical Analysis

• 作者： Tom A. Apostol
• 出版年： 1973
• 簡介：《數學分析》是Tom M. Apostol的經典之作，系統介紹了數學分析的基礎知識，包括實數系統、極限、連續性等。作者以清晰的邏輯和深刻的洞察力，幫助讀者建立對實數的深刻理解。

1.2 實分析與泛函分析(Real analysis and functional analysis)

• 作者： 匡繼昌
• 出版年： 2002
• 簡介：《實分析與泛函分析》是一本由匡繼昌教授編寫的高等數學教材，主要介紹了實分析和泛函分析的基本概念、理論和方法。本書的特點是用集合和映射將傳統的實變函數論、測度論和泛函分析三門課程融合為一門新的現代分析基礎教程。

1.3 實分析與複分析(Real and Complex Analysis)

• 作者： Walter Rudin
• 出版年： 2006
• 簡介： 本書是分析領域內的一部經典著作。全書體例優美，實用性很強，列舉的實例簡明精彩。無論實分析部分還是複分析部分，基本上對所有給出的命題都進行了論證。

1.4 Real Analysis

• 作者： Halsey Royden, Patrick Fitzpatrick
• 出版年： 2010
• 簡介： 這本書已經成為數學分析學科的經典之一，為數學學生提供了深刻的理論基礎。在第五版中，作者進行了重要的更新，包括對測度論、積分論以及度量、拓撲、希爾伯特和巴拿赫空間等現代分析學者應了解的主題的全面涵蓋。

2. 實數系統

實數系統是數學分析的基石，Apostol在他的書中詳細介紹了實數的定義和性質。實數具有完備性和稠密性等重要特徵，構成了數學分析的基礎。

實數的建立涉及數學的基本概念和系統的構建。實數系統是對實際數量的完整描述，包括整數、有理數和無理數。

2.1 有理數的引入

1. 自然數的引入： 實數系統的起點是自然數，即1, 2, 3, 4, …。這些數用於計數和排序。

2. 整數的引入： 為了解決減法問題，引入了零和負整數。這樣，整數系統包括正整數、零和負整數。

3. 有理數的引入： 儘管整數解決了減法的問題，但在除法運算方面還存在限制。例如，嘗試計算 $\frac{1}{3}$ 或 $\frac{2}{7}$ 時，我們發現這樣的數並不在整數集合中。因此，引入有理數的概念，使得任意兩個整數的比例也屬於一個新的數集。有理數系統是對整數系統的擴展，使得任何兩個有理數之間都存在一個有理數，目的是彌補整數集合中存在的一些不足。

4. 有理數的性質： 有理數具有一些重要的性質，包括加法、減法、乘法和除法的封閉性。這意味著任意兩個有理數的和、差、積和商仍然是有理數。這些性質使得有理數成為一個完備的數系。

2.2 無理數的引入

1. 有理數的局限性： 雖然有理數可以表示絕大多數的數值，但有一些數，例如平方根的值（如$\sqrt{2}$無法被表示為兩個整數的比值。嘗試表示這些數時，我們發現無法找到整數 $a$ 和 $b$ 使得 $\frac{a}{b} = \sqrt{2}$。

2. 無理數的定義： 為了彌補有理數無法表示的缺陷，引入了無理數的概念。無理數是不能表示為兩個整數之比的數，或者說，無理數是不是有理數的數。

3. 超越無理數： 超越無理數是不能成為任何代數方程的根的無理數。例如，$e$ 和 $\pi$ 都是超越無理數。這些數無法通過有限次代數運算得到。

2.3 實數完備性證明

實數系統是一個完備的系統，即實數軸上的任何無限序列都有一個極限。這一性質使得實數系統在數學分析中具有強大的工具，特別是在處理極限、連續性和收斂性等方面。 證明方法

確界原理

上確界的定義：

上確界的存在：

對於實數集合 $S$，如果存在一個實數 $M$，使得 $M$ 是 $S$ 的上界，而且對於任意小於 $M$ 的實數 $m$，存在 $S$ 中的元素 $s$，使得 $m \lt s$，則稱 $M$ 是 $S$ 的上確界。

例子：

考慮集合 $S = \{ x \in \mathbb{R} \mid 0 \lt x \lt 1 \}$，即 $S$ 包含所有在開區間 $(0, 1)$ 中的實數。這個集合的上確界是1。

實數的完備性：

單調有界序列的極限：

實數系統中的單調有界序列必有極限。設 $\{ a_n \}$ 是一個單調遞增有界序列，則存在實數 $L$，使得 $\lim_{n \to \infty} a_n = L$。

上確界存在性：

任何非空有上界的實數集合必有上確界。對於任何實數集合 $S$，如果 $S$ 非空且有上界，則 $S$ 有上確界。

完備性的證明思路：

實數的完備性可以通過證明上確界存在性來體現。具體而言，可以通過考慮所有有上界的實數集合的上確界，證明存在一個實數集合的上確界是實數軸上的一個數。

證明：

假設 $S$ 是一個非空有上界的實數集合：

構造集合 $M$：

考慮所有 $S$ 的上界組成的集合 $M$，即 $M = \{ M' \mid M' \text{是} S \text{的上界} \}$。

證明 $M$ 的上確界存在：

• $M$ 非空：因為 $S$ 有上界。
• $M$ 有下界：下界為 $\min(S)$。
• 由實數軸的確界性質，$M$ 有上確界。

證明 $M$ 的上確界即為 $S$ 的上確界：

設 $L$ 是 $M$ 的上確界，由 $M$ 的定義，對於任何小於 $L$ 的實數 $m$，存在 $M' \in M$ 使得 $m \lt M'$。由 $M'$ 是 $S$ 的上界，可知 $m$ 也是 $S$ 的上界。

結論：

因此，對於任何非空有上界的實數集合 $S$，$S$ 必有上確界，從而證明了實數的完備性。

單調有界定理

一個單調遞增（或遞減）且有界的實數序列必有極限。 假設有一個單調遞增有上界的實數序列 $\{a_n\}$，下證它必有極限。

證明：

1. 單調有界定理的前提條件： 序列 $\{a_n\}$ 是單調遞增的，即對於所有的 $n$，有 $a_n \leq a_{n+1}$；同時，序列有上界，存在一個實數 $M$，對於所有的 $n$，都有 $a_n \leq M$。
2. 存在上確界： 由於序列有上界，根據實數的確界性質，存在上確界 $L = \sup\{a_n\}$。即 $L$ 是集合 $\{a_n\}$ 的上確界。
3. 證明 $L$ 是序列的極限：
   • 對於任意小的正實數 $\varepsilon \gt 0$，由上確界的定義，存在某個序列元素 $a_N$，使得 $L - \varepsilon \lt a_N \leq L$。
   • 由序列的單調性，對於所有 $n \geq N$，有 $L - \varepsilon \lt a_N \leq a_n \leq L$。
   • 因此，$L - \varepsilon \lt a_n \lt L + \varepsilon$ 對於所有 $n \geq N$ 都成立。
   • 由極限的定義，$\lim_{n \to \infty} a_n = L$。 通過單調有界定理，我們證明了任何單調遞增有上界（或單調遞減有下界）的實數序列都有極限。這一結論是實數完備性的關鍵，確保了實數軸上的任何非空有上界的數集都有上確界，從而實數軸是完備的。

區間套定理

如果對於每一個正整數 $n$，都存在實數區間 $[a_n, b_n]$，使得這些區間滿足：

1. $[a_{n+1}, b_{n+1}] \subseteq [a_n, b_n]$（每個區間都包含在前一個區間內）。
2. 那麼，存在一個實數 $x$，屬於所有的區間，即 $x \in [a_n, b_n]$ 對於所有正整數 $n$ 都成立。

證明：

1. 構造區間套：
   • 對於每個正整數 $n$，給定區間 $[a_n, b_n]$。
   • 由條件1，這些區間構成了一個區間套，即 $[a_{n+1}, b_{n+1}]\subseteq [a_n, b_n]$。
2. 使用實數的確界性質：
   • 由於每個區間都是閉區間，根據實數的確界性質，存在實數 $x$，它同時是每個區間的上確界。
   • 設 $x = \lim_{n \to \infty} a_n$，即 $x$ 是每個區間左端點構成的序列的極限。
3. 證明 $x$ 在每個區間中：
   • 由區間套的定義，對於每個正整數 $n$，有 $x \in [a_n, b_n]$。
   • 因此，$x$ 同時屬於每個區間。
4. 結論：
   • 綜上，存在實數 $x$，它屬於所有給定的區間。這證明了區間套定理。

通過區間套定理，我們得知如果對於每一個正整數 \(n\)，都存在實數區間 $[a_n, b_n]$ 滿足給定條件，那麼實數軸上存在一個實數 $x$，它同時屬於所有的區間。這一結論是實數軸完備性的關鍵，確保了實數軸上的任何非空區間套都有一個共同的交點，從而實數軸是完備的。

有限覆蓋定理

有限覆蓋定理（Finite Covering Property）是實數完備性的一部分，也被稱為海涅-博雷爾定理（Heine-Borel Theorem）。該定理陳述了實數軸上有界閉區間的重要性質。具體來說，定理表明任何有界閉區間的任何開區間的開集覆蓋，都可以通過這些開區間中的有限個來覆蓋整個閉區間。 正式陳述如下：

有限覆蓋定理： 如果 $[a, b]$ 是實數軸上的一個有界閉區間，且 $\{G_n\}$ 是一組開區間，滿足 $[a, b] \subseteq \bigcup_{n=1}^{\infty} G_n$（閉區間完全包含在所有開區間的並集中），那麼存在一個自然數 $N$，使得 $[a, b] \subseteq \bigcup_{n=1}^{N} G_n$。

有限覆蓋定理指出，任何有界閉區間都可以通過該區間上的有限個開區間來覆蓋。

聚點定理

每個實數上無窮且有界的子集S都有至少一個聚點。這意味著S中的元素趨近於某個實數。 聚點定理也稱 Bolzano-Weierstrass 定理。該定理討論了有界序列的性質，特別是它確保有界序列至少有一個收斂的子序列。

聚點定理的陳述： 如果實數序列有界，即存在實數 $M$ 和 $N$，使得對於序列中的每個元素 $a_n$，都有 $N \leq a_n \leq M$，那麼該序列至少有一個收斂的子序列。

簡言之，如果實數序列有界，那麼必定存在一個子序列，它在某個實數上收斂。

柯西收斂準則

柯西收斂準則（Cauchy Convergence Criterion）是實數序列收斂性的一個重要準則。該準則基於柯西列的概念，指出如果一個實數序列是柯西列，那麼它是收斂的。

柯西收斂準則的陳述： 一個實數序列是收斂的充分必要條件是它是柯西列。 柯西列的定義： 對於任意給定的正實數 $\varepsilon$，存在一個正整數 $N$，對於所有的 $n, m \geq N$，都有 $|a_n - a_m| \lt \varepsilon$。

簡而言之，柯西列是指序列中的元素隨著序號的增加而趨於無窮接近，任何兩項之間的差異趨於零。

柯西收斂準則的重要性在於它提供了一種用序列內元素之間的差異來判斷序列收斂性的方法。當一個序列滿足柯西收斂準則時，我們可以斷定該序列是收斂的，即存在一個實數極限。 需要注意的是，柯西收斂準則對於實數序列成立，但在更一般的度量空間（metric space）中，柯西收斂準則僅是收斂的充分條件，不一定是必要條件。 在實數軸上，柯西收斂準則是完備性的一個表現。

2.4 實數的代數結構

實數系統具有一組運算規則，如加法和乘法，它們滿足一系列代數結構性質。實數的代數結構對於進行各種數學操作和推導是至關重要的。

1. 加法結構： 實數集合上定義了加法運算，即任意兩個實數 $a$ 和 $b$ 相加得到另一個實數 $a + b$。加法運算滿足以下性質：
   • 交換性： 對於任意實數 $a$ 和 $b$，有 $a + b = b + a$。
   • 結合性： 對於任意實數 $a$、$b$ 和 $c$，有 $(a + b) + c = a + (b + c)$。
   • 存在零元素： 存在一個實數 0，對於任意實數 $a$，有 $a + 0 = a$。
   • 存在相反元素： 對於任意實數 $a$，存在一個實數 $-a$，使得 $a + (-a) = 0$。
2. 乘法結構： 實數集合上定義了乘法運算，即任意兩個實數 $a$ 和 $b$ 相乘得到另一個實數 $a \cdot b$。乘法運算滿足以下性質：
   • 交換性： 對於任意實數 $a$ 和 $b$，有 $a \cdot b = b \cdot a$。
   • 結合性： 對於任意實數 $a$、$b$ 和 $c$，有 $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$。
   • 存在單位元素： 存在一個實數 1，對於任意實數 $a$，有 $a \cdot 1 = a$。
   • 存在倒數： 對於任意非零實數 $a$，存在一個實數 $\frac{1}{a}$，使得 $a \cdot \frac{1}{a} = 1$。
3. 分配律： 乘法對加法的分配律是實數代數結構中一個重要的性質，即對於任意實數 $a$、$b$ 和 $c$，有 $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$ 和 $(a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c$。
4. 序關係： 實數集合上定義了大小關係，通常用符號 $ \lt $ 表示。大小關係滿足以下性質：
   • 反對稱性： 對於任意實數 $a$ 和 $b$，如果 $a \lt b$，則不可能有 $b \lt a$。
   • 傳遞性： 對於任意實數 $a$、$b$ 和 $c$，如果 $a \lt b$ 且 $b \lt c$，則必有 $a \lt c$。

這些代數結構性質使得實數成為一個有序域（Ordered Field），並為實數上的數學分析提供了強大的代數工具。這些結構性質對於解方程、處理不等式、進行數學推導和建立數學理論都具有重要意義。

3. 極限和連續性

極限和連續性是數學分析中的核心概念。通過引入極限的概念，深入淺出地闡述函數的連續性。

3.1 實數的極限：

3.1.1 定義：

給定一個實數序列（或實數函數）$\{a_n\}$，當n趨近於無窮大時，如果存在一個實數L，對於任意小的正實數ε，都存在一個正整數N，使得當n>N時，序列中的每一項都與L的距離小於ε，那麼我們說這個序列的極限為L，寫作 $\lim_{n \to \infty} a_n = L$ 。

3.1.2 直觀理解：

極限可以理解為序列中的值隨著項數的增加逐漸趨近於某個確定的值。例如，考慮序列$a_n = \frac{1}{n}$，當n趨近於無窮大時，$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$，表示隨著n的增加，分數$\frac{1}{n}$的值逐漸趨近於零。

3.1.3 性質：

• 極限是唯一的：如果一個序列有極限，那麼它的極限是唯一的。
• 有界序列的極限：有界且單調遞增（或遞減）的序列一定有極限。

3.2 實數的連續性：

3.2.1 連續函數的定義：

一個實函數 f(x) 在某一點 \(x=a\) 處連續，意味著：

• $f(a)$ 存在。
• $\lim_{{x \to a^+}} f(x)$ 存在。
• $\lim_{{x \to a^-}} f(x)$ 存在。
• $\lim_{{x \to a^+}} f(x) = \lim_{{x \to a^-}} f(x) = f(a)$

3.2.2 直觀理解：

函數在某一點連續表示圖形上沒有跳躍、斷裂或間斷，即曲線沒有突變。一個典型的例子是連續函數 $f(x) = x^2$，在整個實數軸上都是連續的。

3.2.3 連續函數的性質：

• 連續函數的和、差、積仍然是連續函數。
• 除非分母為零，否則商函數也是連續的。
• 複合函數連續性：如果 g(x) 在點 $x=a$ 連續，而 f(x) 在點 $x=g(a)$ 處連續，那麼複合函數 $f(g(x))$ 在點 $x=a$ 處也連續。

3.3 重要定理：

3.3.1 介值定理：

如果一個函數 f(x) 在閉區間 [a, b] 上連續，且 $f(a) \neq f(b)$，那麼對於介於 f(a) 和 f(b) 之間的任何值 c，存在某個點 $x_0$ 在 (a, b) 之間，使得 $f(x_0) = c$。

3.3.2 極值定理：

如果一個函數 f(x) 在閉區間 [a, b] 上連續，那麼 f(x) 在該區間上至少有一個最大值和一個最小值。

這些概念和定理構成了實數的極限和連續性理論的基礎，為理解數學分析中更高級的概念和定理奠定了基礎。

4. 對比不同

4.1 數學分析：

• 這本書涵蓋了實分析的基本概念，如實數的構造、連續性、極限、導數和積分。
• 它詳細介紹實數的定義和性質，以及實數集合的基本性質。
• 本書強調一些數學邏輯和集合論的基礎知識，以便更好地理解實數的建立過程。

4.2 《實分析與泛函分析》：

• 它包括更複雜的實數建立方法，例如戴德金分割或基於某些拓撲性質的構造。
• 此外，它涵蓋了泛函分析的一些基本概念。
• 作者更詳細地討論實數的性質，以及實數集合的測度和積分理論。

4.3 Real and Complex Analysis：

• 這本書是最全面的，涵蓋了實分析和複分析的許多方面。
• 它詳細介紹了測度論。
• 它還涵蓋了複分析的一些基本概念，如複數的性質、全純函數和調和函數。
• 強調實數和複數之間的關係，以及它們在數學中的重要性。

4.4 Real Analysis

• Real Analysis這本書突出實數系統的建立，包括對有理數和無理數的構建以及實數的完備性。
• 在深入研究極限和連續性方面，著重討論數列和函數的極限概念，以及導數和積分的基本概念。級數的收斂性、發散性以及求和方法也得到詳細考察。
• 引入了度量空間，輔助理解實數系統和函數空間。

7. 個人體會

透過研讀實數建立的相關書籍，我的數學觀念得到了顯著的拓展。更加深入了解了實數的構建過程，包括從有理數到無理數的引入，以及確界原理等方法的闡釋證明。這使我對實數的概念有了更為清晰和深刻的認識，意識到實數的引入是為了彌補有理數的不足，使數學體系更為完備。

在深入學習極限和連續性的過程中，我深感這是一種深邃而富有美感的思想。極限的引入不僅為理解數列和函數的趨勢提供了有效的工具，也是實數系統中的核心思想之一。連續性的概念則使得實數軸上函數變化的漸進平滑，這種連續性貫穿於整個數學分析。

本文2023-12-27首發於孤筝の温暖小家，最後修改於2023-12-27

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