作者：孤筝（lvbowen040427@163.com）

第一章 微粒二象性與狀態描述

1.1 量子力學的形成與應用

1.1.1 舊量子論

光電效應與光子假說

• 光子能量：$E = h\nu$
• 閾頻：$\nu_0 = \dfrac{W_0}{h}$，$\nu < \nu_0$ 無光電子逸出
• 光電效應方程：
  $$ E_k^{\text{max}} = \frac{1}{2}\mu v^2_m = h\nu - W_0 $$
• 光電效應證明了光的粒子性。

光子的能量—動量（向量）關係與波粒統一

• 相對論能量—動量關係式
  

  $$ E^2=(pc)^2+(m_0c^2)^2,\quad m_0=0\ \Rightarrow\ E=c\,\lVert\vec p\rVert $$

• 光子能量
  

  $$ E=h\nu=\frac{hc}{\lambda}=\hbar\omega $$

• 光子動量（向量形式）
  令 $\mathbf n$ 為傳播方向的單位向量，則

  $$ \vec p=\frac{E}{c}\,\mathbf n=\frac{h}{\lambda}\,\mathbf n=\hbar\vec k,\quad \vec k=\frac{2\pi}{\lambda}\,\mathbf n $$

• 波粒二象性統一（對應關係）
  

  $$ E\ \longleftrightarrow\ \hbar\omega,\qquad \vec p\ \longleftrightarrow\ \hbar\vec k $$

氫原子玻爾結構

• 電子繞原子核运動的軌道角動量量子化：
  $$ L = n\hbar,\quad n=1,2,3,\dots $$
• 能級公式：
  $$ E_n = -\frac{13.6\ \text{eV}}{n^2} $$
• 成功解釋了氫原子光譜的線狀分佈。

玻爾假說

• 電子在穩定軌道上運動時不輻射能量。
• 電子在不同能級之間躍遷時吸收或發射能量：
  $$ \Delta E = h\nu $$

康普頓效應

• 高能光子與電子散射後波長增加：
  $$ \Delta\lambda = \lambda' - \lambda = \frac{h}{m_ec}(1-\cos\theta) $$
• 實驗證實了光子的粒子性與動量守恆。

黑體輻射

• 能量量子化假設：電磁場能量按 $E=nh\nu$ 離散取值。
• 普朗克公式：
  $$ u(\nu,T)=\frac{8\pi h\nu^3}{c^3}\frac{1}{e^{h\nu/kT}-1} $$
• 成功解釋了黑體輻射實驗曲線，開啟量子論。

1.1.2 微觀粒子的波粒二象性

德布羅意假說

• 微觀粒子不僅具有粒子性，也具有波動性。
• 每一個動量為 $\vec p$ 的粒子，都對應一列物質波，其波長和頻率與動量、能量相關。

德布羅意關係

• 波長：
  $$ \lambda = \frac{h}{p} $$
• 向量形式：
  $$ \vec p = \hbar \vec k $$
• 頻率：
  $$ E = h\nu = \hbar\omega $$

1.2 狀態與波函數

1.2.1 測不準原理

• 微觀粒子的位置與動量不能同時被精確測定，存在測量極限。
• 海森堡測不準關係：
  $$ \Delta x \cdot \Delta p_x \geq \frac{\hbar}{2} $$
• 能量與時間之間的測不準關係：
  $$ \Delta E \cdot \Delta t \geq \frac{\hbar}{2} $$
• 本質：源於波粒二象性與算符的不對易性。

1.2.2 波函數

• 為描述微觀粒子狀態，引入波函數 $\psi(\vec r,t)$。
• 機率詮釋：$|\psi(\vec r,t)|^2 dV$ 表示粒子在體積元 $dV$ 內出現的機率。
• 波函數必須滿足線性疊加原理與薛定諤方程。
• 粒子必定在空間某點出現，其在空間各點出現機率的總和為 1，因此粒子在空間各點出現的機率只取決於波函數在空間各點的相對強度，而不取決於強度的絕對大小。
• 將波函數乘上一個常數後，所描寫的粒子狀態並不改變。
• 波函數標準條件：單值、有限、連續

1.2.3 波函數歸一化

• 歸一化條件：在空間內找到粒子的機率為 1。
  $$ \int_{-\infty}^{\infty} \psi^* (\vec r,t) \psi (\vec r,t) dV = 1 $$
• 歸一化波函數求法 $$ \int_{-\infty}^{\infty} |\Psi(\vec r,t)|^2 dV = A^2 \int_{-\infty}^{\infty} |\psi(\vec r,t)|^2 dV = 1 $$ A：歸一化常數

1.3 薛定諤方程

1.3.1 自由粒子的波動方程

概念
自由粒子是指不受外力作用的粒子，其運動僅受量子力學規律描述。在量子力學中，自由粒子的狀態由波函數 $\psi(\vec{r},t)$ 描述，滿足薛定諤方程。

薛定諤方程（自由粒子）

其中：

• $\hbar$：約化普朗克常數
• $m$：粒子質量
• $\nabla^2$：拉普拉斯算符

平面波解
自由粒子波函數的一般解為平面波形式：

其中：

• $\vec{k}$：波矢，$|\vec{k}| = k$
• $\omega$：角頻率，滿足能量關係
  $$ E = \hbar \omega = \frac{\hbar^2 k^2}{2m} $$

動量與波矢關係（德布羅意關係）

自由粒子薛定諤方程的平面波推導

1. 自由粒子波函數假設
自由粒子波函數可以寫成平面波形式：

其中：

• $\vec{k}$ 為波矢
• $\omega$ 為角頻率
• $A$ 為振幅常數

2. 求時間偏導數
對時間 $t$ 求偏導：

乘以 $i\hbar$：

3. 求空間拉普拉斯（動能項）
對空間 $\vec{r}$ 求二階偏導：

因此動能項為：

4. 建立能量關係
自由粒子的總能量為動能：

5. 得到薛定諤方程
將時間導數與空間導數關係寫出：

說明

• 這種推導直接利用了平面波形式和微分運算，不依賴算符定義。
• 對應自由粒子 $V=0$ 的情況。

1.3.3 定態薛定諤方程與定態波函數

概念
定態波函數是指時間依賴可分離的波函數，形如：

設 $f(t)=e^{-i E t / \hbar}$ 。
其中 $\phi(\vec{r})$ 只依賴空間座標，$E$ 為粒子總能量。

推導定態薛定諤方程
從時間依賴薛定諤方程：

代入 $\psi(\vec{r},t) = \phi(\vec{r}) e^{-i E t / \hbar}$：

化簡得到時間獨立部分：

定態薛定諤方程（時間獨立形式）

說明

• $\phi(\vec{r})$ 稱為定態波函數或本徵函數。
• $E$ 為對應的能量本徵值。

薛定諤方程的推導（算符）

1. 從經典能量出發
經典力學中，單個粒子的總能量為：

其中 $p$ 是動量，$V(\vec{r},t)$ 是勢能。

2. 引入量子假設（德布羅意關係）
粒子具有波動性，動量和能量對應波的性質：

波函數可表示為：

3. 引入算符表示
根據量子力學公設，能量與動量用算符表示：

4. 將算符作用到波函數上

• 動能算符： $$ \hat{T} = \frac{\hat{p}^2}{2m} = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 $$
• 總能量算符： $$ \hat{H} = \hat{T} + V(\vec{r},t) = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V(\vec{r},t) $$

5. 寫出薛定諤方程
將總能量算符作用於波函數：

即：

說明

• 這是非相對論情況下的時間依賴薛定諤方程。
• 對自由粒子 ($V=0$) 可化簡為： $$ i\hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 \psi $$

態疊加原理

概念
量子力學中，若 $\psi_1$ 和 $\psi_2$ 是同一體系的兩個可能態，那麼它們的線性組合：

也是該體系的一個可能態。這裡 $c_1, c_2$ 為複數係數，滿足歸一化條件。

一般形式
對一組正交歸一基態 $\{ \phi_n \}$，任意態可展開為：

其中：

• $c_n$ 為展開係數，表示體系處於 $\phi_n$ 態的機率幅；
• 機率為 $|c_n|^2$，需滿足： $$ \sum_n |c_n|^2 = 1 $$

說明

• 態疊加是量子力學最基本的原理之一。
• 不同基態可以同時疊加，但觀測時只能得到其中一個本徵值。
• 疊加態的干涉效應體現了量子力學與經典力學的根本區別。

第二章 薛定諤方程的簡單應用

2.1 一維無限深勢阱

2.1.1 方程求解

1. 勢能函數定義
一維無限深勢阱（寬度 $L$）定義為：

2. 薛定諤方程
在阱內 ($0 < x < L$)：

化簡為：

其中：

3. 通解
方程的通解為：

4. 邊界條件
由於勢阱無限深，波函數必須滿足：

• 由 $\phi(0) = 0 \implies B = 0$
• 由 $\phi(L) = 0 \implies \sin(kL) = 0 \implies kL = n\pi \quad (n=1,2,3,\dots)$

5. 本徵函數與能量

• 歸一化波函數： $$ \phi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right), \quad n=1,2,3,\dots $$
• 能量本徵值： $$ E_n = \frac{n^2 \pi^2 \hbar^2}{2mL^2}, \quad n=1,2,3,\dots $$

說明

• 粒子能量離散化，與量子數 $n$ 成正比。
• 基態能量 ($n=1$) 非零，體現零點能量現象。

2.2 數理方程的特殊函數

2.2.1 正交性與歸一性

正交性
一組函數 $\{ \phi_n(x) \}$ 在區間 $[a,b]$ 上若滿足：

則稱為正交。

歸一性
若同時滿足：

則稱為歸一。

正交歸一性
綜合寫為：

2.2.2 用正交歸一函數組展開

任意滿足一定條件的函數 $f(x)$ 可以展開為正交歸一函數組 $\{ \phi_n(x) \}$ 的線性組合：

其中展開係數：

2.2.3 傅立葉級數

在區間 $[-L,L]$ 上，週期函數 $f(x)$ 可展開為三角函數正交基的級數：

其中：

2.2.4 構造正交歸一函數

常用方法：施密特正交化（Gram-Schmidt）。
給定一組函數 $\{ f_n(x) \}$，可依次構造：

依此類推，得到一組正交歸一函數。

2.2.5 勒讓德多項式與其他特殊函數

勒讓德多項式
由勒讓德方程：

解為勒讓德多項式 $P_l(x)$。

• 正交性： $$ \int_{-1}^{1} P_l(x) P_{l'}(x)\,dx = \frac{2}{2l+1}\delta_{ll'} $$

其他常見特殊函數

• 球諧函數 $Y_l^m(\theta,\phi)$：角動量問題中出現。
• 貝塞爾函數 $J_n(x)$：圓柱對稱問題中出現。
• 厄米多項式 $H_n(x)$：諧振子問題中出現。

這些特殊函數都是滿足不同邊界條件與對稱性的薛定諤方程解。

2.3 線性諧振子

2.4 氫原子

2.4.1 方程求解（分為 $r,\ \theta,\ \phi$ 三個方程）

1. 時間獨立薛定諤方程（庫侖勢）
氫原子（單電子）勢能：

在球座標 $(r,\theta,\phi)$ 中，時間獨立薛定諤方程為

2. 變數分離
設

代入並除以 $\Psi$ 後可得到形如

其中 $\hat L^2$ 為角動量算符。將角動量部分移項並設分離常數 $l(l+1)\hbar^2$，得到三個獨立方程（按變數分為 $r,\theta,\phi$）。

3. 方程 1 — 角方程（$\phi$ 方向）
對 $\phi$ 變數：

4. 方程 2 — 角方程（$\theta$ 方向）
極角方程（由 $\hat L^2$ 的 $\theta$ 部分給出）為關聯勒讓德方程：

其解為關聯勒讓德函數：

5. 角部綜合（球諧函數）
角函數組合為球諧函數：

滿足

其中 $l=0,1,2,\dots,\ -l\le m\le l$，且歸一化：

6. 方程 3 — 徑向方程
令 $u(r)=rR(r)$，徑向方程化為一維形式：

解該方程並施加邊界條件 $u(0)=0,\ u(r)\xrightarrow{r\to\infty}0$，得到離散能級與徑向本徵函數。

7. 能量本徵值（玻爾能級）
能量量子化結果：

主量子數 $n$ 與角量子數滿足 $l=0,1,\dots,n-1$。

8. 波函數形式（歸一化）
完整本徵函數寫為

徑向部分（氫原子）可表示為

其中 $a_0=\dfrac{4\pi\varepsilon_0\hbar^2}{m e^2}$ 為波耳半徑，$L_{n-l-1}^{2l+1}$ 為廣義拉蓋爾多項式，$N_{n l}$ 為歸一化常數。

2.4.2 結果與討論

1. 量子數與簡要物理意義

• $n$（主量子數）：決定能量與徑向性質。
• $l$（角量子數）：與角動量大小相關，取 $0\le l\le n-1$。
• $m$（磁量子數）：角動量 $L_z$ 的本徵值，取 $-l\le m\le l$。

2. 能級簡併
能量僅與 $n$ 有關（庫侖勢下的額外對稱性），每一能級的簡併度為 $n^2$（所有滿足相同 $n$ 的 $(l,m)$ 組合）。

3. 波函數的空間結構

• 角部分由球諧函數給出，決定角向分佈與節點數。
• 徑向部分由 $R_{nl}(r)$ 給出，具有 $n-l-1$ 個徑向節點。
• 基態 $(n,l,m)=(1,0,0)$ 的波函數無角向依賴、徑向無節點，機率密度最大在 $r=a_0$ 附近（期望值 $\langle r\rangle = \tfrac{3}{2}a_0$）。

5. 總結
氫原子問題通過在球座標中按 $r,\theta,\phi$ 三個變數分離得到：兩個角方程（$\theta,\phi$）給出球諧函數和角量子數譜，徑向方程給出離散能級 $E_n$ 與徑向本徵函數。

第三章 力學量的算符表示與表象理論

3.1 力學量與算符的關係

3.1.1 算符數學知識

1. 算符的定義
   算符（Operator）是作用在函數空間或態空間上的運算規則。在量子力學中，物理量通過算符來刻畫，波函數是算符作用的對象。

   • 若 $A$ 是一個算符，對波函數 $\psi$ 的作用記為
     $$ A\psi(x) $$
   • 算符可以是代數運算、微分運算或積分運算。

2. 算符的線性性
   算符 $A$ 若滿足
   

   $$ A(c_1\psi_1 + c_2\psi_2) = c_1 A\psi_1 + c_2 A\psi_2 $$

   其中 $c_1, c_2$ 為常數，則稱 $A$ 為線性算符。量子力學中的物理算符一般都是線性的。

3. 算符的對易關係

   • 兩個算符 $A, B$ 的對易子定義為
     $$ [A,B] = AB - BA $$
   • 若 $[A,B]=0$，稱 $A$ 與 $B$ 對易，可以有共同本徵態。
   • 對易關係是量子力學的重要特徵，與測不準原理密切相關。

4. 厄米算符

   • 定義：若算符 $A$ 滿足
     $$ \langle \psi | A\varphi \rangle = \langle A\psi | \varphi \rangle $$ 對任意態向量 $\psi, \varphi$ 都成立，則稱 $A$ 為厄米算符。
   • 性質：厄米算符的本徵值必為實數，本徵函數可正交歸一化。
   • 物理意義：所有可觀測量都由厄米算符表示。

3.1.2 力學量與算符

1. 基本思想
   在量子力學中，每一個經典力學量 $f(q,p)$ 都對應一個量子算符 $\hat{f}$，從而物理量的測量與算符的本徵問題相聯繫。

2. 典型的算符表示
   在位置表象下：

   • 座標算符
     $$ \hat{x} = x $$
   • 動量算符
     $$ \hat{p} = -i\hbar \frac{\partial}{\partial x} $$

3. 對易關係與基本假設
   座標與動量算符滿足基本對易關係：

   $$ [\hat{x}, \hat{p}] = i\hbar $$

   這是量子力學的核心假設之一，反映了經典力學泊松括號與量子力學算符代數的對應關係。

4. 物理量的測量與本徵方程

   • 測量某一物理量 $A$，等價於求解算符 $\hat{A}$ 的本徵方程：
     $$ \hat{A}\psi_a = a\psi_a $$
   • 本徵值 $a$ 是可能的測量結果，本徵函數 $\psi_a$ 描述系統處於物理量 $A$ 取值為 $a$ 的狀態。

3.2 算符對易關係與測不準原理

3.2.1 算符對易關係

1. 定義
   兩個算符 $A, B$ 的對易子定義為：

   $$ [A,B] = AB - BA $$
   • 若 $[A,B]=0$，稱 $A$ 與 $B$ 對易，說明它們可同時具有一組本徵函數。
   • 若 $[A,B]\neq 0$，則 $A, B$ 不對易，對應的物理量不能同時被精確測量。

2. 基本對易關係
   在位置表象下：

   $$ [\hat{x}, \hat{p}_x] = i\hbar $$

   這被稱為量子力學的基本對易關係，是經典力學泊松括號與量子算符代數的對應結果。

3. 推廣形式
   在三維空間中，有：

   $$ [\hat{x}_i, \hat{p}_j] = i\hbar \delta_{ij}, \quad [\hat{x}_i, \hat{x}_j]=0, \quad [\hat{p}_i, \hat{p}_j]=0 $$

   其中 $\delta_{ij}$ 為克羅內克 δ 符號。

4. 物理意義

   • 對易關係刻畫了物理量之間是否可以同時確定。
   • 若兩個算符對易，則它們的物理量可以同時具有確定值。
   • 若不對易，則測量一個物理量會干擾另一個物理量的精確值。

3.2.2 測不準原理

1. 數學表達式
   對於任意兩個算符 $A, B$，定義其物理量的不確定度為：

   $$ (\Delta A)^2 = \langle (A-\langle A \rangle)^2 \rangle $$
   $$ (\Delta B)^2 = \langle (B-\langle B \rangle)^2 \rangle $$

   根據柯西–施瓦茲不等式，可以得到測不準關係：

   $$ \Delta A \cdot \Delta B \geq \frac{1}{2}\left| \langle [A,B] \rangle \right| $$

2. 座標與動量的不確定關係
   對於 $\hat{x}, \hat{p}$：

   $$ \Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{\hbar}{2} $$

   這表明不可能同時無限精確地測量粒子的位置與動量。

3. 能量與時間的不確定關係
   雖然時間在量子力學中不是算符，但可以得到類似關係：

   $$ \Delta E \cdot \Delta t \gtrsim \hbar $$

   該關係對瞬時過程、能級壽命等物理現象有重要意義。

3.3 表象理論

3.3.1 表象理論的數學基礎

1. 表象的概念

   • 量子態與算符可在不同基底（如位置表象、動量表象、能量表象）下表示。
   • 表象就是在某組正交歸一基向量 $\{ | \phi_n \rangle \}$ 下，態向量與算符的矩陣或函數表示形式。

2. 態向量的展開
   對於任意態 $|\psi\rangle$，可在基底 $\{|\phi_n\rangle\}$ 下展開為：

   $$ |\psi\rangle = \sum_n c_n |\phi_n\rangle $$

   其中 $c_n = \langle \phi_n | \psi \rangle$。

3. 算符的矩陣元
   算符 $\hat{A}$ 在基底 $\{|\phi_n\rangle\}$ 下的矩陣元定義為：

   $$ A_{mn} = \langle \phi_m | \hat{A} | \phi_n \rangle $$

   這樣，算符在該表象下對應一個矩陣。

4. 完備性與正交性

   • 完備性： $$ \sum_n |\phi_n\rangle \langle \phi_n| = I $$
   • 正交性： $$ \langle \phi_m | \phi_n \rangle = \delta_{mn} $$

3.3.2 態與力學量的表象

1. 位置表象

   • 基底：$|x\rangle$
   • 波函數表示：
     $$ \psi(x) = \langle x|\psi\rangle $$
   • 算符作用： $$ \hat{x} \psi(x) = x \psi(x), \quad \hat{p}_x \psi(x) = -i\hbar \frac{\partial}{\partial x}\psi(x) $$

2. 動量表象

   • 基底：$|p\rangle$
   • 波函數表示： $$ \phi(p) = \langle p|\psi\rangle $$
   • 算符作用： $$ \hat{p} \phi(p) = p \phi(p), \quad \hat{x} \phi(p) = i\hbar \frac{\partial}{\partial p}\phi(p) $$

3. 能量表象

   • 基底：哈密頓算符的本徵態 $|E_n\rangle$
   • 態向量表示： $$ |\psi\rangle = \sum_n c_n |E_n\rangle, \quad c_n = \langle E_n|\psi\rangle $$
   • 物理意義：能量表象下，態展開係數 $c_n$ 給出粒子處於能量本徵態的機率幅。

4. 表象之間的變換

   • 不同表象之間通過傅立葉變換聯繫：
     $$ \phi(p) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}} \int_{-\infty}^{\infty} \psi(x) e^{-ipx/\hbar} dx $$ $$ \psi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}} \int_{-\infty}^{\infty} \phi(p) e^{ipx/\hbar} dp $$

總結

• 表象理論提供了在不同基底下處理量子態與算符的統一方法。
• 位置表象與動量表象是最常用的兩種形式，它們體現了量子力學的波粒二象性。

3.4 軌道角動量

3.4.1 角動量

1. 定義
   在經典力學中，軌道角動量定義為：

   $$ \vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} $$

   在量子力學中，定義相應算符：

   $$ \hat{\vec{L}} = \hat{\vec{r}} \times \hat{\vec{p}} $$

2. 分量表示
   

   $$ \hat{L}_x = y\hat{p}_z - z\hat{p}_y, \quad \hat{L}_y = z\hat{p}_x - x\hat{p}_z, \quad \hat{L}_z = x\hat{p}_y - y\hat{p}_x $$

3. 對易關係
   

   $$ [\hat{L}_x, \hat{L}_y] = i\hbar \hat{L}_z, \quad [\hat{L}_y, \hat{L}_z] = i\hbar \hat{L}_x, \quad [\hat{L}_z, \hat{L}_x] = i\hbar \hat{L}_y $$

   總角動量算符：

   $$ \hat{L}^2 = \hat{L}_x^2 + \hat{L}_y^2 + \hat{L}_z^2 $$

3.4.2 角動量守恆

1. 守恆條件
   若體系的哈密頓算符與角動量分量對易，則該分量守恆：

   $$ [\hat{H}, \hat{L}_i] = 0 \quad \Rightarrow \quad \hat{L}_i \ \text{守恆} $$

2. 球對稱勢場
   在球對稱勢場 $V(r)$ 下：

   $$ [\hat{H}, \hat{L}^2] = 0, \quad [\hat{H}, \hat{L}_z] = 0 $$

   說明總角動量 $\hat{L}^2$ 與其 $z$ 分量 $\hat{L}_z$ 守恆。

3.4.3 軌道角動量計算

1. 本徵方程
   軌道角動量滿足：

   $$ \hat{L}^2 Y_{lm}(\theta,\varphi) = l(l+1)\hbar^2 Y_{lm}(\theta,\varphi) $$
   $$ \hat{L}_z Y_{lm}(\theta,\varphi) = m\hbar Y_{lm}(\theta,\varphi) $$

   其中 $Y_{lm}(\theta,\varphi)$ 為球諧函數，$l=0,1,2,\dots$，$m=-l,\dots,l$。

2. 本徵值

   • 角動量平方： $$ L = \sqrt{l(l+1)} \hbar $$
   • 角動量 $z$ 分量： $$ L_z = m\hbar $$

3. 物理意義

   • $l$ 為軌道角動量量子數，決定角動量大小。
   • $m$ 為磁量子數，決定角動量在 $z$ 方向上的投影。
   • 軌道角動量的量子化反映了微觀粒子運動的離散性。

第四章 微擾理論及其應用

4.1 定態微擾理論

4.1.1 非簡併微擾理論

1. 基本思想
   當體系的哈密頓量可以寫成：

   $$ \hat{H} = \hat{H}^{(0)} + \lambda \hat{H}' $$

   其中 $\hat{H}^{(0)}$ 為可解的零階哈密頓量，$\hat{H}'$ 為較小的微擾項，$\lambda$ 為展開參數。
   若能量本徵態非簡併，可展開為級數解。

2. 能量修正

   • 零階：
     $$ E_n^{(0)} , \quad \psi_n^{(0)} $$
   • 一階：
     $$ E_n^{(1)} = \langle \psi_n^{(0)} | \hat{H}' | \psi_n^{(0)} \rangle $$
   • 二階：
     $$ E_n^{(2)} = \sum_{m \neq n} \frac{|\langle \psi_m^{(0)} | \hat{H}' | \psi_n^{(0)} \rangle|^2}{E_n^{(0)} - E_m^{(0)}} $$

3. 波函數修正
   一階波函數修正：

   $$ \psi_n^{(1)} = \sum_{m \neq n} \frac{\langle \psi_m^{(0)} | \hat{H}' | \psi_n^{(0)} \rangle}{E_n^{(0)} - E_m^{(0)}} \psi_m^{(0)} $$

4.1.2 簡併微擾理論

1. 問題來源
   若零階能量 $E^{(0)}$ 對應多個正交本徵態，則稱為簡併態。直接套用非簡併公式會出現分母為零的發散問題。

2. 處理方法
   在簡併子空間內，構造矩陣：

   $$ H'_{ij} = \langle \psi_i^{(0)} | \hat{H}' | \psi_j^{(0)} \rangle $$

   對其進行對角化，得到修正後的能量與本徵態。

3. 結果

   • 一階能量修正由 $H'_{ij}$ 的本徵值給出。
   • 修正後的本徵態為 $H'_{ij}$ 的本徵向量在原簡併子空間中的線性組合。

4.2 含時微擾理論

1. 基本框架
   考慮體系哈密頓量：

   $$ \hat{H}(t) = \hat{H}^{(0)} + \hat{H}'(t) $$

   其中 $\hat{H}'(t)$ 為隨時間變化的微擾項。

2. 態展開
   用零階本徵態展開體系波函數：

   $$ |\psi(t)\rangle = \sum_n c_n(t) e^{-iE_n^{(0)}t/\hbar} |\psi_n^{(0)}\rangle $$

   微擾使得係數 $c_n(t)$ 隨時間演化。

3. 躍遷機率
   一階近似下，從態 $i$ 躍遷到態 $f$ 的機率幅為：

   $$ c_f^{(1)}(t) = \frac{1}{i\hbar} \int_0^t \langle \psi_f^{(0)} | \hat{H}'(t') | \psi_i^{(0)} \rangle e^{i\omega_{fi} t'} dt' $$

   其中 $\omega_{fi} = (E_f^{(0)} - E_i^{(0)})/\hbar$。

4. 費米黃金法則
   當微擾近似為簡諧形式，長時間平均下，躍遷速率為：

   $$ W_{i \to f} = \frac{2\pi}{\hbar} \, |\langle f | \hat{H}' | i \rangle|^2 \, \rho(E_f) $$

   其中 $\rho(E_f)$ 為末態密度。

總結

• 定態微擾：適用於時間無關擾動，修正能量與波函數。
• 含時微擾：研究能級間的躍遷過程，解釋輻射與吸收等現象。

電子自旋

電子自旋實驗發現

1. 斯特恩–格拉赫實驗

   • 將銀原子束通過非均勻磁場，觀測到束分裂為兩條軌跡。
   • 說明電子具有除軌道角動量之外的內稟角動量——自旋。

2. 實驗結論

   • 自旋量子數為 $s = 1/2$。
   • 自旋有兩個可能的投影 $m_s = \pm 1/2$。
   • 自旋引入了額外的磁矩： $$ \vec{\mu}_s = -g_s \frac{e}{2m_e} \vec{S}, \quad g_s \approx 2 $$

電子自旋理論

1. 自旋的量子描述

   • 自旋是內稟角動量，不依賴空間座標。
   • 其算符滿足角動量對易關係： $$ [\hat{S}_i, \hat{S}_j] = i\hbar \epsilon_{ijk} \hat{S}_k $$

2. 物理意義

   • 自旋決定了電子的磁性行為。
   • 自旋量子化導致費米–狄拉克統計與泡利不相容原理。

自旋角動量

自旋算符

1. 自旋分量算符
   

   $$ \hat{S}_x, \hat{S}_y, \hat{S}_z $$

   滿足對易關係：

   $$ [\hat{S}_x, \hat{S}_y] = i\hbar \hat{S}_z, \quad \text{循環對稱} $$

2. 總自旋算符
   

   $$ \hat{S}^2 = \hat{S}_x^2 + \hat{S}_y^2 + \hat{S}_z^2 $$

   對應總自旋量子數 $s$：

   $$ \hat{S}^2 |\chi_s\rangle = s(s+1)\hbar^2 |\chi_s\rangle $$

本徵函數的矩陣表示

1. 自旋-1/2 粒子

   • 自旋態空間二維，取基底： $$ |\uparrow\rangle = \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}, \quad |\downarrow\rangle = \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix} $$

2. 自旋算符的矩陣形式（泡利矩陣）
   

   $$ \hat{S}_x = \frac{\hbar}{2} \sigma_x, \quad \hat{S}_y = \frac{\hbar}{2} \sigma_y, \quad \hat{S}_z = \frac{\hbar}{2} \sigma_z $$

   其中

   $$ \sigma_x = \begin{pmatrix}0 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix},\quad \sigma_y = \begin{pmatrix}0 & -i\\ i & 0\end{pmatrix},\quad \sigma_z = \begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & -1\end{pmatrix} $$

角動量耦合理論

1. 自旋-軌道耦合

   • 電子軌道角動量 $\vec{L}$ 與自旋 $\vec{S}$ 耦合： $$ \hat{H}_{\text{SO}} = \xi(r)\, \vec{L} \cdot \vec{S} $$
   • 造成能級分裂（精細結構）。

2. 總角動量
   

   $$ \vec{J} = \vec{L} + \vec{S}, \quad \hat{J}^2 = (\hat{L}+\hat{S})^2 $$

   本徵態記為 $|j, m_j\rangle$，滿足：

   $$ \hat{J}^2 |j, m_j\rangle = j(j+1)\hbar^2 |j, m_j\rangle, \quad \hat{J}_z |j, m_j\rangle = m_j \hbar |j, m_j\rangle $$

3. 耦合結果

   • $j = l \pm s$，$m_j = -j, -j+1, ..., j$。
   • 自旋與軌道角動量的耦合是原子光譜精細結構的重要來源。

全同性原理

全同粒子體系

概念與原理

1. 全同粒子定義

   • 若兩個粒子在物理性質上完全相同（質量、電荷、自旋等）且無法通過任何實驗區分，則稱為全同粒子（Identical particles）。

2. 全同性原理

   • 物理規律對全同粒子應保持不變。
   • 即交換任意兩粒子的位置和自旋，哈密頓量與可觀測量不變。

全同粒子體系哈密頓算符特點

1. 哈密頓量形式
   對 $N$ 個全同粒子：

   $$ \hat{H} = \sum_{i=1}^N \hat{T}_i + \sum_{i
2. $\hat{T}_i$ 為第 $i$ 個粒子的動能算符。
3. $V(\vec{r}_i - \vec{r}_j)$ 為兩粒子間相互作用勢。

4. 對稱性

   • $\hat{H}$ 在交換粒子算符下保持不變： $$ [\hat{H}, \hat{P}_{ij}] = 0 $$
   • $\hat{P}_{ij}$ 為交換粒子 $i$ 與 $j$ 的交換算符。

全同粒子體系波函數特點

1. 對稱性要求

   • 波函數必須滿足交換對稱性： $$ \hat{P}_{ij} \Psi(\dots, \vec{r}_i, \vec{r}_j, \dots) = \pm \Psi(\dots, \vec{r}_i, \vec{r}_j, \dots) $$
   • +號：玻色子（Bosons），波函數對稱。
   • -號：費米子（Fermions），波函數反對稱。

2. 多粒子波函數構造

   • 玻色子：對稱化和式。
   • 費米子：反對稱化行列式（Slater 行列式）： $$ \Psi(\vec{r}_1, \dots, \vec{r}_N) = \frac{1}{\sqrt{N!}} \begin{vmatrix} \psi_1(\vec{r}_1) & \cdots & \psi_1(\vec{r}_N) \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \psi_N(\vec{r}_1) & \cdots & \psi_N(\vec{r}_N) \end{vmatrix} $$

泡利不相容原理

1. 原理內容

   • 對於自旋為半整數的全同費米子，任何兩粒子不能佔據完全相同的量子態。
   • 即： $$ \Psi(\text{同一量子態}) = 0 $$

2. 物理意義

   • 解釋電子在原子軌道的排布規律。
   • 導致原子結構、化學性質與費米氣體性質。

3. 例子

   • 原子中的電子：每個軌道最多兩個電子，自旋相反。
   • 金屬電子：形成費米能級，決定導電與熱學性質。

本文2025-09-05首發於孤筝の温暖小家，最後修改於2025-09-05

本部落格所有文章除特別聲明外，均採用 BY-NC-SA 授權協議。轉載請註明出處！

作者：孤筝（lvbowen040427@163.com）

前兩天把部落格文章從 Typecho 遷移到 Hugo，光是設定 Front Matter 參數和重新配置圖片連結就費了很大功夫。
一個部落格的價值，首先是文章，緊接著就是評論。評論證明部落格在網際網路和真實世界產生的影響，承載了人與人之間的交互關係。私心一點地說，五湖四海的評論是重要的回憶，是構成「我」的一部分。
所以，將原站評論 copy 到新站的對應文章下是很有必要的。

配置 Waline

相比於 Wordpress、Typecho 等動態部落格，靜態部落格只能外掛評論系統，選擇眾多，各有優劣。在參考了這篇文章和查閱各個評論系統官網後，我最終選擇Waline。
Waline 的中文文檔內容翔實，設置LeanCloud數據庫和Vercel 服務端後即可進入評論管理後台 https://<你的服務端域名>/ui/ 。首次註冊成為管理員，在這裡可以管理評論和用戶。

導出 Typecho 評論

Typecho 太老了，用戶少，不如 Hexo、Wordpress 等社區活躍，網際網路上資料也很少。
筆者僅找到大佬怡紅院落寫的一個 Typecho 導出評論到 Valine 的插件 Export2Valine（也是 Waline 文檔中的）。
但上次更新是三年前，經測試已經失效，僅能導入第一條評論。查看導出的 jsonl 文件，顯然評論數據都已經完全導出。

先將該插件安裝到 Typecho （注意更改插件文件夾名稱為 “Export2Valine” ！）。

參考這一篇 Typecho 遷移到 Hexo 的文章，該插件年久失修，需要作一些更改。
找到插件文件夾下的 Action.php ，第 42 行開始改成如下代碼（追蹤父評論）：

$arr = array(
  "objectId" => $comment["coid"],
  "QQAvatar" => "",
  "comment" => $comment["text"],
  "insertedAt" => array(
    "__type" => "Date",
    "iso" => $time
  ),
  "createdAt" => $time,
  "updatedAt" => $time,
  "ip" => $comment["ip"],
  "link" => $comment["url"],
  "mail" => $comment["mail"],
  "nick" => $comment["author"],
  "ua" => $comment["agent"],
  "url" => "/{$slug}.html"
);

if($comment["parent"]) {
  $arr["pid"] = $comment["parent"];
  $arr["rid"] = $this->getRootId($comment["coid"]);
}

其他部分不用修改。
接著在 Typecho 後台-控制台-評論導出，打開下載的 jsonl 文件，刪除開頭的 #filetype:JSON-streaming {"type":"Class","class":"Comment"}\n\n 。
保存後關閉文件，將文件拓展名改為 .json 。

修正 json 格式

導出文件 jsonl 內中文都用轉義，只有一行，看起來一團亂麻。
為轉化成便於閱讀、編輯與導入的 json 格式，我們先利用編輯器的查找與替換功能，將 }\n{ 替換為

},
{

Xcode 的替換，換行符可以點擊左側小放大鏡標選擇插入。

此時每行一個評論對象。

同樣，將各個評論對象內的字段結構分開，將 "," 替換為

",
    "

此時，我們可以看出每個評論對象內包含多個數據，形似

{"objectId":"3",

    "QQAvatar":"",

    "comment":"\u6d4b\u8bd5\u4e00\u4e0b",

    "insertedAt":{"__type":"Date",

    "iso":"2023-06-27T09:37:07.000Z"},"createdAt":"2023-06-27T09:37:07.000Z",

    "updatedAt":"2023-06-27T09:37:07.000Z",

    "ip":"223.104.150.16",

    "link":**null**,"mail":"2868301418@qq.com",

    "nick":"2868301418",

    "ua":"Mozilla\/5.0 (Linux; Android 13; V2171A Build\/TP1A.220624.014; wv) AppleWebKit\/537.36 (KHTML, like Gecko) Version\/4.0 Chrome\/109.0.5414.86 MQQBrowser\/6.2 TBS\/046605 Mobile Safari\/537.36 V1_AND_SQ_8.9.63_4190_HDBM_T QQ\/8.9.63.11380 NetType\/4G WebP\/0.3.0 Ap",

    "url":"\/\u4ea4\u53cb\u6807\u51c6-\u548c\u5e73\u5171\u5904\u4e94\u9879\u539f\u5219.html"},

  {"objectId":"4",

    "QQAvatar":"",

    "comment":"\u600e\u4e48ip\u4e0d\u5bf9",

    "insertedAt":{"__type":"Date",

    "iso":"2023-06-27T09:38:15.000Z"},"createdAt":"2023-06-27T09:38:15.000Z",

    "updatedAt":"2023-06-27T09:38:15.000Z",

    "ip":"223.104.150.16",

    "link":**null**,"mail":"2868301418@qq.com",

    "nick":"2868301418",

    "ua":"Mozilla\/5.0 (Linux; Android 13; V2171A Build\/TP1A.220624.014; wv) AppleWebKit\/537.36 (KHTML, like Gecko) Version\/4.0 Chrome\/109.0.5414.86 MQQBrowser\/6.2 TBS\/046605 Mobile Safari\/537.36 V1_AND_SQ_8.9.63_4190_HDBM_T QQ\/8.9.63.11380 NetType\/4G WebP\/0.3.0 Ap",

    "url":"\/\u4ea4\u53cb\u6807\u51c6-\u548c\u5e73\u5171\u5904\u4e94\u9879\u539f\u5219.html"},

公共字段說明

1. objectId: 評論的唯一標識符（如 “4” 和 “5”）
2. QQAvatar: QQ頭像鏈接（當前為空字符串）
3. comment: 評論內容（包含 Unicode 轉義字符，如 \u600e\u4e48 表示"怎麼"）
4. insertedAt/createdAt/updatedAt: 時間戳（ISO 8601 格式）
5. ip: 評論者的 IP 地址
6. link: 評論者提供的鏈接（可能為 null）
7. mail: 評論者的郵箱地址
8. nick: 評論者暱稱
9. ua: 用戶代理（顯示瀏覽器/設備信息）
10. url: 被評論的頁面路徑

特殊字段

11. pid: 父評論 ID
12. rid: 根評論 ID

如果 "link" 值為 null ，則 "link" 與 "mail" 間沒有換行。json 對換行不敏感，所以可以不管。
此時在文件首尾用 [ ] 將內容包裹起來，保存文件。

修改評論屬性

此時可以直接導入 LeanCloud 了，但尚有內容可以修改。

Export2Valine 將評論關聯文章的 url 設置為 \/slug ，比如 "url": "\/Summary-of-the-First-Semester-of-Junior-Year.html" ，其中 \/ 是轉義 / 。

想要把評論與新部落格的文章聯繫起來，需要手動修改 url 為新部落格的文章鏈接。

以筆者該部落格為例，Hugo 生成的網站根目錄下有 zh-cn,zh-tw,en,ja 四個文件夾（開啟了多語言），中文站的文章在 /zh-cn/post/文章分類/ 下。
筆者在本地部落格源文件就將文章按分類放入不同文件夾，比如 /content/post/Thoughts/最近寫的詩.md 生成網頁相對地址為 zh-cn/post/thoughts/最近寫的詩 。

如果你的新部落格文章在根目錄且名稱未更改，那自然不用修改 url。
若都在 /post/ 下，可以使用查找與替換將

"url":"\/

替換為

"url":"\/post\/

筆者是暫時替換為

"url":"\/zh-cn\/post\/

同樣，友鏈、說說之類的獨立頁面評論也應修改為新部落格對應頁面相對地址。 比如友鏈頁面

"url":"\/links.html

替換為

"url":"\/zh-cn\/friend\/

將 post 和獨立頁面中可以大規模應用查找替換的 url 先替換，否則導入後難以大批量替換。

使用查找與替換時，盡量多包裹共同內容，找「最大公約數」，避免錯誤修改。
注意轉義 \/ !!!

導入 LeanCloud

在 LeanCloud 控制台-數據存儲-導入導出，選擇修改好的 json 文件，Class 填寫 Comment ，導入。

注意，如果你之前在部落格 Waline 發過測試評論，或曾嘗試過導入 Comment，Waline 會先創建 Comment Class ，再導入就無法成功導入數據（LeanCloud 會提示成功，但沒有新數據導入）。

只能先在控制台-結構化數據，選擇 Comment 並刪除該 Class，再次嘗試導入。LeanCloud 頁面可能不會及時刷新結果，Ctrl+F5 刷新緩存就有了。

導入成功後，再針對每個評論 url 進行單獨設置。
比如筆者的 post 需要一個個歸類到 "url":"\/zh-cn\/post\/文章分類\/ 下，此時善用 LeanCloud 批量操作和按條件過濾功能。

後記

評論的整理並沒有耽誤筆者太長時間，120 條評論大部分是筆者自己在說說頁面的自言自語，所以 url 可以批量修正。僅有的十幾條他人評論分佈在寥寥三五個文章中，通過 post 篩選修改起來很快。不知道是好事還是壞事呢（笑）

自言自語也好，他人的留言也好，每一條於筆者都有著非同尋常的意義，隔一段時間回看就會有新的感受。
如最開始所言，這是筆者的成長軌跡，是筆者存活於世的證明，是「我」的一部分。

而你，我親愛的讀者，是你賦予我價值。

有空的話請多多評論吧～筆者真的會開心很久的說（如果評論善意的話）。

本文2025-04-19首發於孤筝の温暖小家，最後修改於2025-04-19

本部落格所有文章除特別聲明外，均採用 BY-NC-SA 授權協議。轉載請註明出處！

作者：孤筝（lvbowen040427@163.com）

關於期末考試

對學生來說，一個學期最重要的似乎莫過於成績了。秉持著臨陣磨槍的優良傳統，期末半個月幾乎每日狂學（當然偶有偷懶的時候怎麼十六週還做實驗啊我操）。好歹是沒有掛科，雖然分數不高但也滿意（一天學完空氣動力學70+什麼實力我不說）。 於是又要「下定決心」說「下學期我一定好好學」這樣唬人的假話hhh 不過確實該學了，不然如何博士畢業呢？

關於讀博

我選擇進入錢班本博通道，不是為了4+3提前畢業（雖然也沒有這實力），也不是為了把握機會追求一個能帶來更高薪、更高「社會地位」的學位。我想，當年將「Doctor」翻譯成「博士」的人，想強調的是其背負「博學博聞」的名聲，而不是其他。 雖說「勸人讀博天打雷劈」，延畢鬱鬱比比皆是，我還是想試試做一些親手創造的，前無古人的成果。不為「帽子」，不為「山頭」，只是為著於人民有利，為人類有益。 就像我之前說的，

我對物質的要求僅是養活一家老小，以目前的情況看不難做到。但我對本科階段的學識不滿意，學四年似乎還沒入門。 守著前賢幾十幾百年前就探索出來的知識生活在日新月異的新時代？放棄接觸最前沿的學問安於養家糊口？我做不到。 鄙人不才或許一生在學術上難有建樹，但絕不能捨棄人類開拓創新的勇氣。至少要做個站在最前面的見證者，見證一代代人衝擊物質與精神的桎梏，見證文明走出溫和的搖籃，走向未知的深空。 我無法割捨獲取新知的快感， 因為我已經觸碰過天空了。

今日的大話說得夠多了，打心底我也不覺得自己真有改變些什麼的能力，大抵最後碌碌無為成為灌水勉強畢業的學術垃圾。 但總歸是要試試的，是要去做的，因為山就在那裡。

關於家庭

說完嚴肅的話題，該聊些輕鬆的。 八月母親在武漢同濟手術，我去陪了半個月實在是不好意思說是照顧，切除子宮後休養兩個月，精神好些。然後又去早起晚歸工作了，唉。 家裡並無太多牽掛，一切如常。 有點想念冬日裡奶奶煮的雞蛋糖水。

關於朋友

在學校的日子一如往常，除了一個電賽並無太多波瀾。朋友們還是老樣子，喜歡的人過得很好，大家各有各的生活。 天之涯，地之角，知交半零落。

關於匈牙利之行

報名了空間院寒假的歐布達大學訪學項目，來這兒待了兩週，準備回去了。 學些沒什麼用的AI應用，確實和我未來的學習沒多大關係，也不指望真學到什麼屠龍術。 剛來的幾天白人飯很難吃，完全無法想像這兒人怎麼活下去的。後面伙食漸漸好起來了，去本地的地道館子吃了goulash（一種牛肉疙瘩湯，加了土豆胡蘿蔔之類的），確實好吃。這裡的豬肘子更是一絕，大份又好吃但為什麼翻譯過來是趾關節？ 牛排就算了，默認五分熟不到，切不動嚼不爛。最常見的乾巴麵包也不行，蔬菜沙拉石中石。 另一個印象深的是廁所，目前所有見過的廁所都乾淨得很，有人定期打掃放衛生紙，洗手用的清潔劑、烘乾器和擦手紙一應俱全（omg），宿舍的廁所甚至有沖洗馬桶用的花灑噴頭和泡潔廁靈裡的馬桶刷子。所有水龍頭都24h冷熱水供應，暖氣遍布以至於室內常常太熱。 唯一遺憾的是幾乎沒有公廁，有些地方廁所收費。 唉，發達國家有錢，資源使勁造。一想到國內許多北方村民冬天沒錢買暖氣，南方許多人夏天開不起空調，我就心裡難受。 世界上受苦受難的人太多了，同志仍需努力。

買了些地道東西帶回去，但怕有朋友先看見破壞神秘感，就不說了。

尾言

明天回國過年，心裡十分想念。 剩餘一半的寒假應該好好學一下《通信原理》（也許會，也許不會）。 祝新年快樂，歲歲平安。 2025.1.24

本文2025-01-28首發於孤筝の温暖小家，最後修改於2025-01-28

本部落格所有文章除特別聲明外，均採用 BY-NC-SA 授權協議。轉載請註明出處！

作者：孤筝（lvbowen040427@163.com）

東方紅

中流擊水聲遠空，但聞江水夜夜隆。

人皆旭日豈年少，萬里河山萬里紅。

2024.12.26
於西安

本文2024-12-26首發於孤筝の温暖小家，最後修改於2024-12-26

本部落格所有文章除特別聲明外，均採用 BY-NC-SA 授權協議。轉載請註明出處！

作者：孤筝（lvbowen040427@163.com）

——謹以此詩，獻給我生命中那顆Polaris

一位可愛的旅人途經一片無人欣賞的風景，她帶來這異域的暖風吹過乾涸的田野，拂過樹梢又在湖面蕩漾出波光粼粼。
果樹們紛紛為這美人傾倒，急急忙忙開花又結果；林中的鳥兒四處尋覓為數不多的花枝，編成花環戴在她頭上。
旅人漫步於這落英繽紛，盛情難卻，摘下幾個鮮紅的果實；又不好意思一味索取，便掏出口袋裡所有鮮花的種子，播撒在所有龜裂的地皮。
唯有田野荒蕪，他羞澀又內疚——有什麼可以拿出來獻給這位可愛的姑娘嗎？
他使出吃奶的力氣催促花種們快快長大，希望能讓她看到田野裡盛放的鮮花。
可旅人注定不會在這兒久留——這裡的風景確實很好，樹和鳥兒都很殷勤，只是，這裡不是一個適合當家的地方。
旅人走了，果樹、鳥兒、田野都有些捨不得。
田野的花兒還是沒有送出去，可能下一位旅人到來就能看到一座美麗的花園吧。
但大家並不為此感到悲傷，
因為春天來過。

冬去春來，秋去冬來。
果實變成小小的果樹，雛鳥剛剛學會飛翔；年輪纏上樹幹，夏雨將羽翼洗得鋥亮。
田野悉心照料的花園裡，最後一朵菊花开過了花期，空桿葉隨寒風擺動。
這片土地不再荒蕪，過去的幾個季節，旅人帶來的種子抽芽破土而出，按商量好的花期依次向世界展示她們的美麗。飲晨露，沐朝陽，舞清風，枕月光。
春天，田野用梔子花和山楂花做了一頂純白的花環，像旅人的白裙子一樣美。
夏天，田野用紫薇和木槿做了一個花籃，可惜木槿朝開暮落，像旅人匆匆離開。
秋天，田野想用桂花和菱葉菊鋪一張花床，秋風卻不解風情一次次捲走了桂香。
鮮花們帶著使命暢享短暫的生命，在塵土中準備下一次遠航。
旅人再也沒有回來，她不知道自己隨手灑下的種子已然長成一片花園，而田野也始終沒有機會獻上他的禮裝。
冬去春來，秋去冬來。
田野期待一場雪，給底下的花種蓋上溫暖的被子。若是來年旅人再次來到這世外桃源，這花園可配得上那可愛的姑娘。
初冬的細雨裡，他悄然睡下，夢到十月最後一批蒲公英乘風出發，快要追上旅人的雙頰。
「你不害怕花種撐不過冬天嗎？」樹和鳥兒這樣問田野，此刻的田野又變得光禿禿空無一物。
「沒關係，我已經見過春天了。」
因為春天來過。

本文2024-11-13首發於孤筝の温暖小家，最後修改於2024-11-13

本部落格所有文章除特別聲明外，均採用 BY-NC-SA 授權協議。轉載請註明出處！

作者：孤筝（lvbowen040427@163.com）

序

　　國慶隨《黑神話·悟空》遊山西，歷晉南晉城、臨汾、運城三市，作詩詞五首，簡記之。 　　

晉南行·其一

門掩殘塑去，簷出金鐸來。
點染翠林亂，潑墨碧裙開。
新枝攀朽木，老壯攜幼孩。
徽因應有淚，千年可留白？

孤箏
2024.10.2
晉城玉皇廟、府城關帝廟、青蓮寺

　　玉皇廟二十八星宿等殿均禁閃光燈，佛像隱於鐵柵欄後，許些漆跡剝落，乃至缺首斷足。令人遺憾。
　　府城關帝廟中塑像幾乎都是現代新作，手藝拙劣叫人倒胃口。倒是建築值得一看。
　　青蓮寺山高路遠，沿途風景極好，秋日山青水碧，少許紅黃闊葉點綴其間，萬里無雲，是錦繡福地。

晉南行·其二

倦起青帝未點班，急騰晨霧破曉寒。
才渡人海窺佛面，又登林雲訪伽藍。
九尊金身九菡萏，三進相門三淨壇。
未及鱗霞收暮色，已是輕騎躍重山。

孤箏
2024.10.3
晉城開化寺、鐵佛寺、定林寺

　　大早上趕公交到高平，先逛開化寺，再回鐵佛寺。鐵佛寺新開放不久，人滿為患，又深居小村小院。排隊一小時餘，得窺佛面兩分鐘。幸而排隊遇一家三口，父母開明，不拒二次元和遊戲。唉，神仙父母無處尋也。（女兒雙馬尾好可愛wwww）
　　定林寺蓮花藻井亦是近期才重新開放，有幸遇上，確實好看。

晉南行·其三

水調歌頭

**　　寶相食香祿，石碑浸風塵。敢問座下丘列，誦經可達神？已削青絲斷欲，又棄酒肉濯宇，笑面謹藏嗔。空識五蘊律，不解無明身。
　　假金鐃，修禪廟，弄愚生。誑語功德，卻效如來釋大乘。許利好收虔眾，勸善難得信篤，八戒誤沙門。司磬稱富貴，偽佛度俗僧。**

孤箏
2024.10.4
臨汾小西天

八戒：一戒殺生，二戒偷盜，三戒淫，四戒妄語，五戒飲酒，六戒著香華，七戒坐臥高廣大床，八戒非時食。
黃眉：不殺生，仇恨永無止息；不偷盜，強弱如我何異；不邪淫，一切有情皆孽；不妄語，夢幻泡影空虛；不饞酒，憂怖漲落無常；不耽樂，芳華剎那而已；不貪眠，苦苦不得解脫；不縱欲，諸行了無生趣。

　　小西天下寺沒啥看頭，都是些求財求子的善男信女燒香拜佛。那尼姑（？存疑）坐一旁敲磬看跪拜，口中不停說包佑日入一個億一千萬什麼的，諷刺至極。
　　上寺大雄寶殿內懸塑，規格規模具是驚人。可惜人太多了沒多少時間細看。我去晚了沒拿到山西官方通關信物明信片，略有遺憾。

晉南行·其四

古剎踞平陽，三震隱佛光。
巍巍琉璃塔，緲緲羅漢堂。
求經憑功祿，祈雨賴人王。
一藏傳東土，貞觀起盛唐。

孤箏
2024.10.6
臨汾廣勝寺

　　洪洞縣廣勝寺，下寺有雨神廟，左右滿壁畫，保存不甚完好。殿內光線陰暗，看不真切。左右偏房有官方掃描件，色彩鮮明，神采俱備，可稱佳品。
　　上寺重看飛虹塔，寶塔遍身琉璃。僅開放一層，內裡無甚可觀之處。
　　後院天中天殿有三尊大佛，高十餘尺，身形秀麗，是為一絕。

晉南行·其五

鸛雀樓幸遇未陶然有寄

生來不是酒中仙，落墨皴眉把字研。
鸛雀樓上鬥之渙，太行山下思教員。
君作人間逍遙客，我困象塔長少年。
或歷天地無存所，且將詩債換酒錢。

孤箏
2024.10.6
運城永樂宮、廣仁王廟、鸛雀樓、關帝廟

　　運城跟團遊，時間緊地點多，都沒來得及細看。至鸛雀樓時，觀一小攤書「賣原創詩集」大字。逛畢新樓，回看詩集，久震餘驚。未陶然受大理女詩人影響重走文學路，我也曾寫過不少詩，多是閒來拙筆，倒也未想過以此為生計。
　　高中將作詩、摘詩的底稿送出，分手後，再也沒怎麼寫過詩了。一是沉迷遊戲現實，沒讀什麼書，既無詩才也無勤心，落筆乾澀終不滿意。二是心境迷濛，顧當世如霧裡看花，既無透勁亦無清明，活得渾渾噩噩。三是久居象塔經歷平平，無喜無悲，難有詩情。

後記

晉南三城各有特色。
晉城繁華，公交發達，有專線通往各個景點。初到市區，一路燈火通明。
臨汾奇異，連客運站周圍都黑的很，景點離城區遠且沒有公交專線，包車花費較大；公共廁所有特色，我騎青桔電動車打卡二十餘，無一相同。
運城熱鬧，主路也好小路也罷，商鋪小店小攤擠滿了，聽說還有南北兩集市（運城包子好吃，小館實誠）。

本文2024-10-08首發於孤筝の温暖小家，最後修改於2024-10-08

本部落格所有文章除特別聲明外，均採用 BY-NC-SA 授權協議。轉載請註明出處！

作者：孤筝（lvbowen040427@163.com）

「媽媽這個世界真的會有女孩喜歡我嗎？」
「當然啦第一次見你我也才20多歲。」

中秋節將近，給家人打個電話吧。

人有悲歡離合，月有陰晴圓缺，此事古難全。
但願人長久，千里共嬋娟。

但願人長久，但願人長久，但願人長久。

本文2024-09-15首發於孤筝の温暖小家，最後修改於2024-09-15

本部落格所有文章除特別聲明外，均採用 BY-NC-SA 授權協議。轉載請註明出處！

作者：孤筝（lvbowen040427@163.com）

前言

第一版前言

[[2024-09-14]] 今天補考終於結束了，聽說正考直接放原卷，這幾天刷了三套網上得來的「西電原卷」（21 年和兩套 23 年）。上午刷的 21 年題，下午 $\frac{1}{4}$ 是一個字不改的原題，我都看笑了。 戴浩當年說盡力給錢班找最好的老師，現在看來數統院沒人了？講課不行可以說是重心不在教學、天賦不在教書；出套卷子直接搬舊題，還是近幾年的，題也沒審錯漏百出，給我氣笑了。 自己出的卷子毫無含金量，自己也不做做看。這是態度問題。 你電期末考試放水挺好的，但不要總是拿老本糊弄人。對學生大談創新，對自己能混就行。這不是做學術的態度，更不是教書應有的態度。

概率論就此告一段落，這兩天反覆看筆記刷題訂正不少錯誤，也明晰了這門課的知識結構。雖然內容仍然偏少，但作為期末複習的材料大抵足夠，這版就作為終版吧（大概）。 中秋繼續整理電動力學和數位信號處理。

第二版前言

Nothing is final!!! ——錢學森

補充了分佈函數左右連續問題，看來這門課離 final 還有很遠……

事件運算轉邏輯運算

• $A \cup B=A+B$
• $A \cap B=A \cdot B$
• $A-B=A \bar{B}$ $A$ 事件發生 $B$ 事件不發生，由韋恩圖易證。 可以將 $-B$ 理解為 $\cdot (-B)$ ，$-B$ 即為 $\bar{B}$
• 若 $A \subset B$ ，$A \cup B=B,A \cap B=A$

事件運算轉邏輯運算後，大部分法則共通。 運用數電中學到的邏輯函數運算與化簡，可將複雜事件運算化簡。 Tips：卡諾圖

四大事件概率公式

推論

$P(A+B+C)$ ，將 $A+B$ 看成一個事件，運用上面的加法公式，兩次拆分得到：

更多和事件概率可依此遞推得到。

對立事件：$A$ 不發生的概率，韋恩圖一目了然。

非負性與規範性

非負性：對於任意事件 $A$ ，$0 \le P(A) \le 1$ 。 規範性：對於總事件 $\Omega$ ，$P(\Omega)=1$ 。

相互獨立

獨立必相互獨立。

古典概型

各基本事件發生概率相等。

Eg. 拋硬幣，擲骰子……

古典條件概率公式

伯努利概型（二項分佈）

$n$ 次獨立實驗，每次實驗只有 $A,\bar{A}$ 兩種結果。

$X \sim B(n,p)$

其中，$p=P(A),1-p=P(\bar{A})$

幾何概型

事件 所佔線/面/體積 部分與整個 線/面/體 的 長度/面積/體積 比值。 當事件所佔空間維度低於總事件空間 $\Omega$ 維度時，該事件概率恒為 0 。 ==Warning==：事件概率為 0 不代表一定不發生。 Eg：隨機選中圓內某點，選中任意點概率為 0，但都可能發生。

均勻分佈

$x \sim U(a,b)$ 近似為幾何分佈中的線性分佈，各點處概率密度：

分佈函數：

指數分佈

$x \sim E(\lambda)$

概率密度

分佈函數

泊松分佈

$X \sim \pi(\lambda)$

本文2024-09-10首發於孤筝の温暖小家，最後修改於2024-09-10

本部落格所有文章除特別聲明外，均採用 BY-NC-SA 授權協議。轉載請註明出處！

作者：孤筝（lvbowen040427@163.com）

前言

俗話說得好，美化的盡頭是預設。

雖然預設的 Windows 已經能高效地勝任各項工作，但它確實 ugly 啊。

在擁有一台性能過剩 PC 的情況下，適度追求美化和簡化，滿足本私齋的高端審美是極有必要的（）

下面來說說我在用/用過的美化軟體/方案。

當前桌面方案

• TranslucentTB：工作列透明/壓克力效果
• Sapphire：桌面圖示互動優化
• Wallpaper Engine：為減少 GPU 消耗和記憶體佔用，只選了 Blue Archive 中 Noa 的記憶大廳作為桌布，幾秒的 4 K 影片，整個 Wallpaper 記憶體佔用約 100 Mb。
• Rainmeter：只用了一個音頻條作為美化，因為 Noa 已經夠美了😋 原來用過查看硬體資訊的組件，發現除了增加焦慮外沒什麼用，遂放棄。
• QQ 美化、網易雲音樂美化、游標美化、Obsidian 主題、插件安排上。再加上 Edge 瀏覽器的 iTab 標籤頁和各類實用插件，目前的工作流完全舒適。

貼幾張圖

在以上正常工作流下，記憶體佔大頭的是瀏覽器，GPU 消耗主要來自 wallpaper，從登入到完全自啟動耗時 10s 內，均在可接受負載範圍內。

配置：

• 12400 F
• 7700 XT
• 32G DDR4
• 2K 180Hz HDR顯示器
• Windows 11 專業版 23H2

QQ 美化

==特別推薦！== QQ 是大部分中國人不得不用又恨之入骨的東西——廣告、彈窗、不想看的娛樂頁面、花里胡哨功能性差的界面。 Windows 端自從推出 QQ 9，上述情況改善了不少，然而噁心人的東西最近逐漸加回來了，只能說本性難移。 為了不被迫在這個常用軟體上天天吃屎，偉大的具有開源精神和折騰精神的中文互聯網人紛紛投入 QQ 改造計劃，而今天我要介紹的就是其中一個偉大項目——LiteLoaderQQNT。 好了說正事，liteloader 是 QQNT 的插件平台，安裝後可以下載眾多插件。 GitHub 項目地址：LiteLoaderQQNT: QQNT 插件加載器：輕量 · 簡潔 · 開源 · 福瑞

部分推薦插件如下：

1. PluginInstaller：LiteLoaderQQNT 插件安裝器，可檢查更新和一鍵安裝/重啟。先安裝這個再安裝其他插件省事很多。
2. LL-plugin-list-viewer: LiteLoaderQQNT Plugin 插件列表查看·安裝·更新。收錄了大部分插件，可直達 GitHub 項目地址。安裝功能存在問題，部分插件需要手動安裝和更新，否則會報錯無法啟動 QQ，建議作為插件/主題查看器。
3. 輕量工具箱 —— 輕量 · 優雅 · 高效 · 福瑞：聚合了大量功能的工具箱，免於四處尋找插件。部分可選功能如下：
   • 美化聊天界面實現類 tg 效果（顯示頭像，加時間戳，消息靠左等）
   • 移除稱號、VIP 、推薦標籤等亂七八糟的東西。
   • 右鍵快捷搜索文字/圖片，消息轉圖片發送
   • 選項高亮，特殊消息高亮
   • 小程序分享轉 URL 卡片，記錄離開時位置，快捷+1（復讀機）
   • 消息預覽：根據消息中第一個連結生成一張類 tg 的預覽卡片
   • 本地表情
   • 消息後綴
   • 撤回消息緩存並高亮
   • 設置背景，調整亮度、透明度，可加磨砂等效果
   • 精簡側邊欄，所有功能可開關
   • 輸入框、消息框功能開關
   • ……
4. 二維碼解析：對 QQNT 聊天中的圖片進行二維碼解析
5. 使用自定義瀏覽器打開連結並跳過攔截頁
6. 將 DeepL 翻譯接入你的 QQNT
7. Markdown：為 QQ 添加 Markdown 渲染支持。發出的消息只有安裝了該插件的 QQNT 能渲染 markdown，所以大部分情況下沒用。
8. Kill-Update：關閉 QQ自動更新彈窗，有些插件不會第一時間支持最新版 QQ，所以禁止更新是有用的。
9. window-on-top：讓窗口有置頂功能

還有一些主題我沒有介紹，因為去除垃圾之後部分美化的 QQNT 已經很好看了。 另外 ChatGPT 等 AI 接入插件也有，懶得折騰 API（沒錢）。

網易雲音樂美化

==特別推薦！== 眾所周知，國內幾大音樂平台巨頭都在走複雜化、流量化路線，今天加一個社區，明天加一個短視頻，長期 VIP 跳臉。 作為聽音樂的軟體，有幾項基本功能就夠了。國內外都有很多做得好的音樂播放器，但“播放器”和“音樂平台”之間還是有很多差距的。比如便捷搜索歌曲，查看評論，一起聽等。建立歌單、關注歌手、充值購買等沉沒成本也迫使用戶繼續吃屎。 我一直用的網易雲音樂有一群偉大的互聯網人做了插件，美化後確實美觀好用。 首先是插件平台 betterncm

• 官網：MicroBlock | BetterNCM
• GitHub 項目地址：GitHub - MicroCBer/BetterNCM: NCM 軟體插件管理器
• 社區：關於 BetterNCM 最全面的介紹以及疑難解答 - 飛書雲文檔

優點是安裝 betterncm 後，所有的主題、插件可以從網易雲內平台下載、更新，不用一個個去查找翻 GitHub。 推薦主題：

• Materia You：比較簡潔的主題，純色背景沒有背景圖片。配色方案多樣。

推薦插件：

1. RoundCornerNCM：網易雲音樂窗口圓角，僅 Windows 11。

2. MikuPlugin：管理各元素是否顯示，可以關閉惱人的視頻、直播等元素。

3. 類蘋果歌詞：將歌曲頁面改為類 Apple Music 的樣式，還可更改歌詞源。

4. 這首歌的封面是什麼？：歌曲列表添加封面，增加儲存佔用，易造成卡頓

5. RuLyrics：桌面歌詞插件，支持逐詞，主副歌詞，更改字體，分別更改前景色（已唱）、背景色（未唱），支持嵌入工作列（與 TranslucentTB 同時使用似乎有點問題）

6. 更多好用插件自行探索下載

7. 部分插件對其他插件有依賴、衝突，注意在 GitHub Issues 查看甄別。

Wallpaper Engine

==必備好物！== 鼎鼎大名的萬能小紅車，開啟××√享受嶄新人生（bushi） 作為最常用最好用的桌布軟體，wallpaper 有許多優點：

• 資源豐富。steam 創意工坊每時每刻都有大量優質桌布上架，且幾乎全部免費下載使用。
• 資源種類多。視頻、圖片、動圖、網頁……桌布種類極多，且不少桌布功能豐富，聚合了音樂歌詞、特效、頻譜等功能，一鍵裝點桌面。
• 找資源方便。Wallpaper 搜索和篩選規則完善豐富，可篩選桌布解析度、類型、適用年齡等。
• 使用簡便。基於 steam 創意工坊，能訪問 steam 就能下載桌布，無需翻牆，下載速度有保障。大部分桌布，即使功能複雜，在 wallpaper 界面也能輕鬆設置。
• 串聯手機。Wallpaper 推出了安卓應用，可通過 PC 向手機傳輸使用桌布。

Warning：部分複雜特效網頁、高清視頻桌布較為消耗 GPU 性能，佔顯存較多。可以在 wallpaper 設置裡調整幀率、特效和應用行為等改善。

唯一的缺點是在 steam 購買 wallpaper 需要 19 RMB，不過這價格真不高吧。

Steam：Steam 上的 Wallpaper Engine：桌布引擎

TranslucentTB

==特別推薦！== 工作列透明工具，可以全透、壓克力、不透，換主題色等。 佔用記憶體、儲存極小，幾乎不消耗 CPU 性能。

GitHub 項目地址：GitHub - TranslucentTB GitHub 中文翻譯項目地址：GitHub - kasuganosoras/TranslucentTB-CN

Rainmeter

==特別推薦！== 久負盛名的桌面組件工具，可以自製功能多樣的小部件放在桌面，也可以方便地導入他人製作的部件（即皮膚）。 常見的功能有：

• 顯示 CPU、GPU、記憶體等硬體資訊（實時更新）
• 音頻識別生成各式各樣的律動頻譜條
• 媒體播放器
• 一鍵追番、查看新番
• 放置圖片、輪播圖庫等
• ……

缺點

• 組件放多了會卡
• 部分組件資源消耗大
• 選擇太多了需要折騰

官網：Rainmeter 中國官網：個人分享 Rainmeter GitHub 項目地址：GitHub - rainmeter 中國社區：雨滴美化社區

Start 11

工作列及開始菜單美化工具

• 可以將開始菜單改為 Windows 7-11 的風格，可改變顏色、透明度、間距、對齊方式等。
• 高級索引功能：與 Edge 瀏覽器配對時，打開的選項卡也會顯示在搜索內容中，最常用的內容在結果中的顯示位置會更高。移除本地搜索結果旁邊顯示的 Web 內容的選項！
• 更改開始按鈕圖標，開始菜單背景圖，工作列顏色、紋理。

缺點

• 付費
• 我用起來有卡頓、啟動慢等現象。
• 和 TranslucentTB 不兼容。

官網終身版售價 35 RMB，小貴，30 天免費試用。有許多代理，存在學習版（不推薦）。

官網：Start11 中國官網： Start 11 Steam（褒貶不一）：Steam 上的 Start11 v2

楓の美化工具箱

檔案資源管理器、開始菜單、全局窗口美化工具 目前擁有的功能：

• 主頁面：自定義檔案資源管理器窗口字體、局部顏色模式 Light、Dark (實驗性局部Dark模式存在小的視覺bug)
• 背景設置：自定義檔案資源管理器、開始菜單、系統設置的背景圖片
• 顏色設置：自定義檔案資源管理器配色(標題、組、頁眉、詳細資訊、硬碟進度條)、圓角化硬碟進度條
• 圖標設置：自定義桌面、檔案資源管理器圖標組圖標
• 窗口設置：自定義檔案資源管理器窗口背景效果半透明、Blur、Acrylic、Mica效果 win11圓角類型、開始菜單、系統設置Acrylic背景效果
• 控件樣式：自定義全局窗口標題欄按鈕樣式、macOS樣式按鈕、檔案資源管理器Tab標籤頁、工具欄、地址欄配色、自繪圓角滾動條
• 預設列表：保存、導入、分享你的配置文件
• 插件列表：安裝插件增強和擴展工具箱的功能

Evaluations：

• 還算是簡單易用，記憶體和 GPU 佔用尚可接受。
• 可裝插件和導入配置文件，有一定可玩性。
• 不兼容 TranslucentTB
• 我用起來檔案資源管理器常崩潰、不顯示背景圖片、工具欄配色未更改，可能已經優化穩定了。
• 背景圖片清晰度不高，在 dark 模式下背景圖片容易干擾正常閱讀檔案資訊
• 軟體免費，不完全開源，需要註冊登入賬號。

發布地址：win美化工具箱 ★ 楓の主題社

Sapphire

==特別推薦！== 桌面圖示、佈局美化，更改互動體驗。

• 可調整桌面圖示佈局，更改橫縱網格數
• 放置格子（類手機上的資料夾），將桌面各類檔案直接放進資料夾，分類同一管理
• 調整圖示、格子大小（網格數整數倍），圓角，背景，透明度
• 更改檔案名的字體
• 精簡模式去除檔案名，可每個圖示單獨設置
• 可設置互動動效
• Dock 欄，類 Mac/手機下方的 dock，可豎置，改變長寬、背景色
• 開啟資料夾高級互動後可以資料夾滑鼠懸停預覽內容，單擊原地展開，不必開檔案資源管理器窗口。
• 針對 steam 內應用的快捷方式優化
• 雙擊隱藏圖示，每個可單獨設置是否隱藏。
• 後台記憶體佔用 100 mb 左右，尚可接受。幾乎不消耗 GPU
• 可自定義圖片、動圖作為桌布。初步兼容 WallpaperEngine（需在設置中設置當其他程序成為焦點時為始終運行）。
• 多屏支持

缺點：

• 我的電腦開啟高級檔案互動後，只要資料夾內檔案數稍多，sapphire 會直接卡死。觀望作者更新。
• 暫時還沒有保存桌面佈局的功能，好在即使卡退也會記錄最新佈局。
• 只保證兼容 Windows 11
• 更改桌面右鍵互動但目前還不能自定義

GitHub 項目地址：Sapphire-EnhancedDesktop: Windows桌面取代軟體

游標美化

網上有很多分享游標美化檔案的，根據個人喜好挑選。安裝也不難。 分享兩款，不影響視野同時具有個性化設計的：

1. 原神納西妲游標：納西妲同款滑鼠游標4.0版來咯_原神
2. 蔚藍檔案千年游標，簡約可愛，在用。 GitHub項目地址：BlueArchive-Cursors

本文2024-09-07首發於孤筝の温暖小家，最後修改於2024-09-07

本部落格所有文章除特別聲明外，均採用 BY-NC-SA 授權協議。轉載請註明出處！

作者：孤筝（lvbowen040427@163.com）

數位訊號處理基本概念

信號分類

1. 連續信號：即模擬信號，時域連續信號。
2. 時域離散信號：幅度取值連續，時間取值離散。
3. 幅度離散信號：幅度取值離散，時間取值連續。
4. 數位信號：幅度和時間都取離散值。

區別

時域離散信號和數位信號之間的差別，僅在於數位信號存在量化誤差。

數位訊號處理實現方法

數位訊號處理的主要對象是數位訊號，且是採用數值運算的方法達到處理目的的。

軟體實現

按原理和演算法，編寫程式在通用電腦實現。

• 優點：靈活
• 缺點：運算速度慢，難以達到即時處理效果。
• 適合演算法研究和模擬。

硬體實現

按照具體的要求和演算法，設計硬體結構圖，用乘法器、加法器、延時器、控制器、記憶體以及輸入輸出介面等基本部件實現。

• 優點：運算速度快，可即時處理
• 缺點：不靈活

硬體實現指的是選用合適的 DSP 晶片，配有適合晶片語言及任務要求的軟體，實現某種訊號處理功能的一種方法。

專用晶片

採用專用的 數位訊號處理晶片（DSP 晶片） 是目前發展最快、應用最廣的一種方法。因為 DSP 晶片比通用單晶片有更為突出的優點，它結合了數位訊號處理的特點，內部配有乘法器和累加器，結構上採用了流水線工作方式以及平行結構、多匯流排，且配有適合數位訊號處理的指令，是一類可實現高速運算的微處理器。

對於更高速的即時系統，DSP 的速度也不滿足要求時，應採用可程式超大型元件（FPGA）或開發專用晶片來實現。

數位訊號處理特點

相較於類比訊號處理，數位訊號處理具有以下特點：

1. 靈活性
2. 高精度和高穩定性
3. 便於大規模集成
4. 可以實現類比系統無法實現的諸多功能，如儲存、複雜變換和運算。

信號維度

信號通常是一個自變數或幾個自變數的函數。 如果僅有一個自變數，則稱為一維信號；如果有兩個以上的自變數，則稱為多維信號。

時域離散信號與系統

時域離散信號

實際中遇到的信號一般是模擬信號，對它進行等間隔採樣便可以得到時域離散信號。

模擬信號 $x_a(t)$ ，離散時間點 $t_n$ 。 均勻採樣（等間隔採樣）時，採樣間隔 $T$ ，$t_n=nT$

$x(n)$ 稱為時域離散信號，$n$ 取整數，得到序列

時域離散信號也稱序列。

序列表示方法

集合符號

數的集合用集合符號 $\{\cdot \}$ 表示，時域離散信號可表示為有序的數的集合。 集合中有下劃線的元素表示 $n=0$ 時刻的採樣值。

公式表示

範例:

圖形表示

橫坐標為 $n$ ，縱坐標為 $x$ 的值，豎線頂端加黑點。

常用典型序列

單位脈衝序列 $\delta(n)$

也稱單位採樣序列，不同於單位衝激信號 $\delta(t)$ 。

單位階躍序列 $u(n)$

矩形序列 $R_N(n)$

$N$ 稱為矩形序列長度，矩形序列可用單位階躍序列表示。

實指數序列

• $|a| \lt 1$ 時稱 $x(n)$ 為收斂序列
• $|a| \gt 1$ 時稱 $x(n)$ 為發散序列

正弦序列

$\omega$ 稱為正弦序列的數字域頻率（數字頻率），單位為弧度 $rad$ ，表示序列變化速率（相鄰兩個序列值之間相位變化的弧度數）。

模擬角頻率 $\varOmega$，若正弦序列由模擬信號 $x_a(t)=\sin (\varOmega t)$ 採樣得到

則得到數字頻率與模擬角頻率的關係

採樣頻率 $F_s=\frac{1}{T}$ ，因此

數字域頻率是模擬角頻率對採樣頻率的歸一化頻率。

複指數序列

因為 $n$ 取整數，所以正弦序列和複指數序列都以 $2 \pi$ 為周期。

周期序列

如果對所有 $n$ 存在一個最小的正整數 $N$，使下面等式成立：

則稱序列 $x(n)$ 為周期性序列，周期為 $N$ 。

序列運算

簡單

加法和乘法

位移、翻轉、尺度變換

離散時域系統

系統輸入為 $x(n)$ ，輸出為 $y(n)$ ，運算關係用 $T[\cdot]$ 表示。

線性系統

系統的輸入、輸出之間滿足線性疊加原理的系統稱為線性系統。

可加性

齊次性（比例性）

時不變系統

如果系統對輸入信號的運算關係 $T[\cdot]$ 在整個運算過程中不隨時間變化，或者說系統對於輸入信號的響應與信號加於系統的時間無關，則這種系統稱為時不變系統。

線性時不變系統特點

完全響應=零輸入響應+零狀態響應

單位脈衝響應

初始狀態為 0（無零輸入響應）

卷積相關知識見《信號與系統》

系統因果性

定義：如果系統 $n$ 時刻的輸出只取決於 $n$ 時刻以及 $n$ 時刻以前的輸入序列，而和 $n$ 時刻以後的輸入序列無關，則稱該系統具有因果性質，或稱該系統為因果系統。

==充要條件==：系統單位脈衝響應滿足下式

系統穩定性

定義：如果對有界輸入，系統產生的輸出也是有界的，則稱該系統具有穩定性，或稱該系統為穩定系統。 ==充要條件==：系統的單位脈衝響應絕對可和。

線性常係數差分方程

本文2024-09-04首發於孤筝の温暖小家，最後修改於2024-09-04

本部落格所有文章除特別聲明外，均採用 BY-NC-SA 授權協議。轉載請註明出處！