數位訊號處理

數位訊號處理基本概念

信號分類

連續信號：即模擬信號，時域連續信號。
時域離散信號：幅度取值連續，時間取值離散。
幅度離散信號：幅度取值離散，時間取值連續。
數位信號：幅度和時間都取離散值。

區別

時域離散信號和數位信號之間的差別，僅在於數位信號存在量化誤差。

數位訊號處理實現方法

數位訊號處理的主要對象是數位訊號，且是採用數值運算的方法達到處理目的的。

軟體實現

按原理和演算法，編寫程式在通用電腦實現。

優點：靈活
缺點：運算速度慢，難以達到即時處理效果。
適合演算法研究和模擬。

硬體實現

按照具體的要求和演算法，設計硬體結構圖，用乘法器、加法器、延時器、控制器、記憶體以及輸入輸出介面等基本部件實現。

優點：運算速度快，可即時處理
缺點：不靈活

硬體實現指的是選用合適的 DSP 晶片，配有適合晶片語言及任務要求的軟體，實現某種訊號處理功能的一種方法。

專用晶片

採用專用的 數位訊號處理晶片（DSP 晶片） 是目前發展最快、應用最廣的一種方法。因為 DSP 晶片比通用單晶片有更為突出的優點，它結合了數位訊號處理的特點，內部配有乘法器和累加器，結構上採用了流水線工作方式以及平行結構、多匯流排，且配有適合數位訊號處理的指令，是一類可實現高速運算的微處理器。

對於更高速的即時系統，DSP 的速度也不滿足要求時，應採用可程式超大型元件（FPGA）或開發專用晶片來實現。

數位訊號處理特點

相較於類比訊號處理，數位訊號處理具有以下特點：

靈活性
高精度和高穩定性
便於大規模集成
可以實現類比系統無法實現的諸多功能，如儲存、複雜變換和運算。

信號維度

信號通常是一個自變數或幾個自變數的函數。如果僅有一個自變數，則稱為一維信號；如果有兩個以上的自變數，則稱為多維信號。

時域離散信號與系統

時域離散信號

實際中遇到的信號一般是模擬信號，對它進行等間隔採樣便可以得到時域離散信號。

模擬信號 $x_a(t)$ ，離散時間點 $t_n$ 。均勻採樣（等間隔採樣）時，採樣間隔 $T$ ，$t_n=nT$

$$ x(n)=x_a(t)|_{t=nT}=x_a(nT),- \infty \lt n \lt \infty $$

$x(n)$ 稱為時域離散信號，$n$ 取整數，得到序列

$$ x(n)=\{\cdots ,x_a(-2T),x_a(-T),x_a(0),x_a(T),x_a(2T),\cdots \} $$

時域離散信號也稱序列。

序列表示方法

集合符號

數的集合用集合符號 $\{\cdot \}$ 表示，時域離散信號可表示為有序的數的集合。集合中有下劃線的元素表示 $n=0$ 時刻的採樣值。

公式表示

範例:

$$ x(n)=a^{|n|},0 \lt a \lt 1,-\infty \lt n \lt \infty $$

圖形表示

橫坐標為 $n$ ，縱坐標為 $x$ 的值，豎線頂端加黑點。

常用典型序列

單位脈衝序列 $\delta(n)$

$$ \delta(n)= \begin{cases} 1 & n=0\\ 0 & n \ne 0\\ \end{cases} $$

也稱單位採樣序列，不同於單位衝激信號 $\delta(t)$ 。

單位階躍序列 $u(n)$

$$ u(n)= \begin{cases} 1 & n \ge 0\\ 0 & n \lt 0\\ \end{cases} $$$$ \delta(n)=u(n)-u(n-1) $$

$$ u(n)=\sum^{\infty}_{k=0}\delta(n-k) $$

矩形序列 $R_N(n)$

$$ R_N(n)= \begin{cases} 1 & 0 \le n \le N-1\\ 0 & Others \end{cases} $$

$N$ 稱為矩形序列長度，矩形序列可用單位階躍序列表示。

$$ R_N(n)=u(n)-u(n-N) $$

實指數序列

$$ x(n)=a^n u(n),a 為實數 $$

$|a| \lt 1$ 時稱 $x(n)$ 為收斂序列
$|a| \gt 1$ 時稱 $x(n)$ 為發散序列

正弦序列

$$ x(n)=\sin (\omega n) $$

$\omega$ 稱為正弦序列的數字域頻率（數字頻率），單位為弧度 $rad$ ，表示序列變化速率（相鄰兩個序列值之間相位變化的弧度數）。

模擬角頻率 $\varOmega$，若正弦序列由模擬信號 $x_a(t)=\sin (\varOmega t)$ 採樣得到

$$ x(n)=x_a(t)|_{t=nT}=\sin (\varOmega nT)=\sin (\omega n) $$

則得到數字頻率與模擬角頻率的關係

$$ \omega=\varOmega T $$

採樣頻率 $F_s=\frac{1}{T}$ ，因此

$$ \omega=\frac{\varOmega}{F_s} $$

數字域頻率是模擬角頻率對採樣頻率的歸一化頻率。

複指數序列

$$ x(n)=e^{(\sigma+j \omega_0)n}=\cos(\omega_0 n)+j \sin(\omega_0 n) $$

因為 $n$ 取整數，所以正弦序列和複指數序列都以 $2 \pi$ 為周期。

周期序列

如果對所有 $n$ 存在一個最小的正整數 $N$，使下面等式成立：

$$ x(n)=x(n+N),-\infty \lt n \lt \infty $$

則稱序列 $x(n)$ 為周期性序列，周期為 $N$ 。

序列運算

簡單

加法和乘法

位移、翻轉、尺度變換

離散時域系統

系統輸入為 $x(n)$ ，輸出為 $y(n)$ ，運算關係用 $T[\cdot]$ 表示。

$$ y(n)=T[x(n)] $$

線性系統

系統的輸入、輸出之間滿足線性疊加原理的系統稱為線性系統。

可加性

$$ y_1(n)=T[x_1(n)],y_2(n)=T[x_2(n)] $$

$$ T[x_1(n)+x_2(n)]=y_1(n)+y_2(n) $$

齊次性（比例性）

$$ T[a \times x(n)]=a \times y(n) $$

時不變系統

如果系統對輸入信號的運算關係 $T[\cdot]$ 在整個運算過程中不隨時間變化，或者說系統對於輸入信號的響應與信號加於系統的時間無關，則這種系統稱為時不變系統。

$$ y(n)=T[x(n)] $$

$$ y(n-n_0)=T[x(n-n_0)] $$

線性時不變系統特點

完全響應=零輸入響應+零狀態響應

單位脈衝響應

初始狀態為 0（無零輸入響應）

$$ h(n)=T[\delta(n)] $$

$$ x(n)=\sum^{\infty}_{m=-\infty}x(m)\delta(n-m) $$

$$ \begin{align} y(n) &=T[x(n)]\\ &=T[\sum^{\infty}_{m=-\infty}x(m)\delta(n-m)]\\ &=\sum^{\infty}_{m=-\infty}x(m)T[\delta(n-m)]\\ &=\sum^{\infty}_{m=-\infty}x(m)h(n-m)\\ &=x(n)*h(n) \end{align} $$

卷積相關知識見《信號與系統》

系統因果性

定義：如果系統 $n$ 時刻的輸出只取決於 $n$ 時刻以及 $n$ 時刻以前的輸入序列，而和 $n$ 時刻以後的輸入序列無關，則稱該系統具有因果性質，或稱該系統為因果系統。

==充要條件==：系統單位脈衝響應滿足下式

$$ h(n)=0 \quad n \lt 0 $$

系統穩定性

定義：如果對有界輸入，系統產生的輸出也是有界的，則稱該系統具有穩定性，或稱該系統為穩定系統。 ==充要條件==：系統的單位脈衝響應絕對可和。

$$ \sum^{\infty}_{m=-\infty}|h(n)| \lt \infty $$