機率論與數理統計

前言

第一版前言

[[2024-09-14]] 今天補考終於結束了，聽說正考直接放原卷，這幾天刷了三套網上得來的「西電原卷」（21 年和兩套 23 年）。上午刷的 21 年題，下午 $\frac{1}{4}$ 是一個字不改的原題，我都看笑了。戴浩當年說盡力給錢班找最好的老師，現在看來數統院沒人了？講課不行可以說是重心不在教學、天賦不在教書；出套卷子直接搬舊題，還是近幾年的，題也沒審錯漏百出，給我氣笑了。自己出的卷子毫無含金量，自己也不做做看。這是態度問題。你電期末考試放水挺好的，但不要總是拿老本糊弄人。對學生大談創新，對自己能混就行。這不是做學術的態度，更不是教書應有的態度。

概率論就此告一段落，這兩天反覆看筆記刷題訂正不少錯誤，也明晰了這門課的知識結構。雖然內容仍然偏少，但作為期末複習的材料大抵足夠，這版就作為終版吧（大概）。中秋繼續整理電動力學和數位信號處理。

第二版前言

Nothing is final!!! ——錢學森

補充了分佈函數左右連續問題，看來這門課離 final 還有很遠……

事件運算轉邏輯運算

$A \cup B=A+B$
$A \cap B=A \cdot B$
$A-B=A \bar{B}$ $A$ 事件發生 $B$ 事件不發生，由韋恩圖易證。可以將 $-B$ 理解為 $\cdot (-B)$ ，$-B$ 即為 $\bar{B}$
若 $A \subset B$ ，$A \cup B=B,A \cap B=A$

事件運算轉邏輯運算後，大部分法則共通。運用數電中學到的邏輯函數運算與化簡，可將複雜事件運算化簡。 Tips：卡諾圖

四大事件概率公式

$$ \begin{cases} P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)\\ P(A-B)=P(A)-P(AB)=P(A \bar{B})\\ P(AB)=P(B) \cdot P(A|B)=P(A) \cdot P(B|A)\\ P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}\\ \end{cases} $$

推論

$P(A+B+C)$ ，將 $A+B$ 看成一個事件，運用上面的加法公式，兩次拆分得到：

$$ P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC) $$

更多和事件概率可依此遞推得到。

對立事件：$A$ 不發生的概率，韋恩圖一目了然。

$$ P(\bar{A})=P(1 \cdot \bar{A})=P(1-A)=P(1)-P(1 \cdot A)=1-P(A) $$

非負性與規範性

非負性：對於任意事件 $A$ ，$0 \le P(A) \le 1$ 。規範性：對於總事件 $\Omega$ ，$P(\Omega)=1$ 。

相互獨立

$$ \begin{cases} P(AB)=P(A) \cdot P(B)\\ P(A|B)=P(A) \end{cases} $$

獨立必相互獨立。

古典概型

各基本事件發生概率相等。

Eg. 拋硬幣，擲骰子……

$$ P(A)=\frac{A包含基本事件數}{\Omega 中基本事件數} $$

古典條件概率公式

$$ P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}=\frac{同時在A,B中的基本事件數}{A包含基本事件數} $$

伯努利概型（二項分佈）

$n$ 次獨立實驗，每次實驗只有 $A,\bar{A}$ 兩種結果。

$X \sim B(n,p)$

$$ P_n(k)=C_n^kp^k(1-p)^{n-k} $$

其中，$p=P(A),1-p=P(\bar{A})$

幾何概型

事件 所佔線/面/體積 部分與整個 線/面/體 的 長度/面積/體積 比值。當事件所佔空間維度低於總事件空間 $\Omega$ 維度時，該事件概率恒為 0 。 ==Warning==：事件概率為 0 不代表一定不發生。 Eg：隨機選中圓內某點，選中任意點概率為 0，但都可能發生。

均勻分佈

$x \sim U(a,b)$ 近似為幾何分佈中的線性分佈，各點處概率密度：

$$ f(x)= \begin{cases} 0,x \le a\\ \frac{1}{b-a},a \lt x \le b\\ 0,x \gt b\\ \end{cases} $$

分佈函數：

$$ F(x)= \begin{cases} 0,x \le a\\ \frac{x-a}{b-a},a \lt x \le b\\ 1,x \gt b\\ \end{cases} $$

指數分佈

$x \sim E(\lambda)$

概率密度

$$ f(x)= \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x},x \gt 0\\ 0,x \le 0\\ \end{cases} $$

分佈函數

$$ F(x)= \begin{cases} 1-e^{-\lambda x},x \ge 0\\ 0,x \lt 0\\ \end{cases} $$

泊松分佈

$X \sim \pi(\lambda)$

$$ P(X=k)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!} $$