複變函數

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複數

1. 複數的表達形式： $$z = r\cdot e^{i\theta} = r(cos\theta +i\cdot sin\theta)$$
2. 幾種初等函數
   1. 指數函數：$e^z = e^x(cosy+isiny)$
      1. $e^z只是expz的縮寫，並沒有冪的含義$
      2. $|e^z| = e^x,Arg(e^z) = y+2k\pi$
   2. 對數函數：$Lnz =ln|r|+iArgz$
      1. 函數在除去原點和負實軸的$z$平面內解析，且$(Lnz)' = \frac{1}{z}$
   3. 三角函數
      1. $cosz = \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2},sinz = \frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}$
      2. $chz = \frac{e^z+e^{-z}}{2},shz = \frac{e^z-e^{-z}}{2}$

解析函數

1. 可導的定義： $$\lim_{\Delta z \to 0} \frac{f(z_0+\Delta z)-f(z_0)}{\Delta z} 極限存在，就稱f(z)在z_0可導$$
2. 解析的定義： $$函數f(z)在z_0及z_0的鄰域內處處可導，就稱f(z)在z_0處解析$$ 推論：解析函數的和、差、積、商也是解析函數，解析函數的複合也是解析函數。
3. 可導、解析的充要條件：$u(x),v(x)可微$，並且滿足柯西-黎曼方程 $$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y} ,\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x} $$若有一個不滿足，則既不可導也不解析。 推論：$f'(z) = \frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{1}{i}\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial y}$

複變函數的積分

重要公式

$$\oint_{|z-z_0|=r}\frac{1}{(z-z_0)^n}dz=\begin{cases} 2\pi i ,n =1\\ \text 0,\quad n\neq 1 \end{cases} $$

1. 柯西-古薩基本定理 在解析，單連通的區域內的任意閉合曲線積分值為0，即 $$\oint_{C}^{}f{(z)}dz = 0$$
2. 複合閉路定理——柯西積分定理向多連通推廣 C為解析、多連通區域內的簡單閉曲線，$C_1,C_2 \cdots C_n$為C內同向的簡單閉曲線， $$\oint_{C}^{}f{(z)}dz = \sum_{k=1}^{n} \oint_{C_k}f(z)dz $$
3. 柯西積分公式——將曲線C內部任意一點的值用它邊界的值來表示
4. $f(z)$在區域D內解析，C為D內一條正向簡單閉曲線 $$2\pi i\cdot f(z_0) = \oint_{c} \frac{f(z)}{z-z_0}dx$$
5. 柯西積分公式的高階推廣——用函數的高階導數來求積分 $$f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_C \frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}dz$$

級數

冪級數

1. 解析函數的兩個性質
   1. 解析函數具有任意階導數
   2. 解析函數都一定可以用冪級數來表示
2. 泰勒展開$f(z) = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}z^n$
3. 求泰勒展開的方法[[高等數學#函數展開為冪級數]]

洛朗級數

1. 雙邊冪級數
   1. 收斂域是圓環域$R_1 \lt |z-z_0| \lt R_2$
2. 洛朗展開: $$f(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n(z-z_0)^n,c_n=\frac{1}{2\pi i}\cdot \oint_{C}\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}dz$$ 推論：當$n$取$-1$時，$c_{-1}\cdot 2\pi i=\oint_Cf(z)dz$
3. 求洛朗展開的方法
   1. 用定義來算出來$c_n$(幾乎不用)
   2. 運用代數運算、代換等方法，使得洛朗級數變為泰勒級數的形式和收斂域

留數

孤立奇點

1. 定義：$f(z)$在$z_0$處不解析，但在$z_0$的某一去心鄰域內處處解析
2. 孤立奇點的分類（根據洛朗級數的負冪項）
   1. 可去奇點：不含有負冪項 ，因此當$z\to z_0$時$f(z)$的極限為有限數
   2. 極點：含有有限個負冪項（若有m個負冪項，則稱$z_0$為$f(z)$的m級極點），當$z\to z_0$時$f(z)$的極限為$\infty$.
   3. 本性奇點：含有無限個負冪項，$f(z)$的極限不存在
3. 極點和零點的關係
   1. 零點的定義：不恆等於零的解析函數$f(z)$,如果能表示成$f(z) = (z-z_0)^m\varphi(z)$,$則稱z_0為f(z)的m級零點$. 充要條件是：$f^{(n)}(z_0) = 0,(n \lt m)\quad f^{(m)}\ne 0$
   2. 如果$z_0為f(z)的m級零點$，$則稱z_0為\frac{1}{f(z)}的m級極點$.

留數

1. 定義： $$Res[f(z),z_0]=c_{-1} = \frac{1}{2\pi i}\oint_C f(z)d_z$$
2. 留數的計算法則
   1. 如果$z_0為f(z)的一級極點$ $$Res[f(z),z_0]=\lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)$$
   2. 如果$z_0為f(z)的m級極點$ $$Res[f(z),z_0]=\frac{1}{(m-1)!}\lim_{z\to z_0}\frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}}(z-z_0)^mf(z)$$
   3. 如果$f(z)=\frac{P(z)}{Q(z)},且P(z_0)\ne0,Q(z_0) =0,Q'(z_0)\ne0$ $$Res[f(z),z_0]=\frac{P(z_0)}{Q'(z_0)}$$
   4. $$Res[f(z),\infty]=-Res[f(\frac{1}{z})\cdot\frac{1}{z^2},0]$$