量子物理学

lvbowen040427@163.com (孤筝) — Fri, 05 Sep 2025 11:05:15 +0800

量子物理学

著者: 孤筝(lvbowen040427@163.com)

第1章微粒子の二重性と状態記述

1.1 量子力学の成立と応用

1.1.1 旧量子論

光電効果と光子仮説

光子のエネルギー：$E = h\nu$
しきい周波数：$\nu_0 = \dfrac{W_0}{h}$、$\nu < \nu_0$ では光電子は放出されない
光電効果の式：
$$ E_k^{\text{max}} = \frac{1}{2}\mu v^2_m = h\nu - W_0 $$
光電効果は光の粒子性を示す。

光子のエネルギー・運動量関係と波粒統一

相対論的エネルギー・運動量関係
$$ E^2=(pc)^2+(m_0c^2)^2,\quad m_0=0\ \Rightarrow\ E=c\,\lVert\vec p\rVert $$
光子のエネルギー
$$ E=h\nu=\frac{hc}{\lambda}=\hbar\omega $$
光子の運動量（ベクトル形式）
$$ \vec p=\frac{E}{c}\,\mathbf n=\frac{h}{\lambda}\,\mathbf n=\hbar\vec k,\quad \vec k=\frac{2\pi}{\lambda}\,\mathbf n $$
ただし $\mathbf n$ は進行方向の単位ベクトル。
波動像と粒子像の対応
$$ E\ \longleftrightarrow\ \hbar\omega,\qquad \vec p\ \longleftrightarrow\ \hbar\vec k $$

水素原子のボーア模型

軌道角運動量の量子化： $$ L = n\hbar,\quad n=1,2,3,\dots $$
エネルギー準位： $$ E_n = -\frac{13.6\ \text{eV}}{n^2} $$
これにより水素原子スペクトルの線状構造が説明される。

ボーアの仮説

電子は安定軌道上ではエネルギーを放射しない。
異なる準位間を遷移するとき、電子はエネルギーを吸収または放出する： $$ \Delta E = h\nu $$

コンプトン効果

高エネルギー光子が電子と散乱すると、波長は $$ \Delta\lambda = \lambda' - \lambda = \frac{h}{m_ec}(1-\cos\theta) $$ だけ増加する。
この実験は光子の粒子性と運動量保存を裏づけた。

黒体放射

エネルギー量子化仮説：電磁場のエネルギーは $E=nh\nu$ の離散値をとる。
プランク公式： $$ u(\nu,T)=\frac{8\pi h\nu^3}{c^3}\frac{1}{e^{h\nu/kT}-1} $$
これにより黒体放射の実験曲線が説明され、量子論が始まった。

1.1.2 微視的粒子の波動粒子二重性

ド・ブロイ仮説

微視的粒子は粒子性だけでなく波動性ももつ。
運動量 $\vec p$ をもつ粒子には、対応する物質波が存在し、その波長と振動数は運動量とエネルギーに対応する。

ド・ブロイ関係

波長： $$ \lambda = \frac{h}{p} $$
ベクトル形式： $$ \vec p = \hbar \vec k $$
振動数： $$ E = h\nu = \hbar\omega $$

1.2 状態と波動関数

1.2.1 不確定性原理

微視的粒子の位置と運動量は同時に任意の精度では決定できない。
ハイゼンベルクの不確定性関係： $$ \Delta x \cdot \Delta p_x \geq \frac{\hbar}{2} $$
エネルギーと時間についても $$ \Delta E \cdot \Delta t \geq \frac{\hbar}{2} $$ が成り立つ。
本質は波動粒子二重性と演算子の非可換性にある。

1.2.2 波動関数

微視的粒子の状態を表すために 波動関数 $\psi(\vec r,t)$ を導入する。
確率解釈：$|\psi(\vec r,t)|^2 dV$ は体積要素 $dV$ 内に粒子を見出す確率である。
波動関数は重ね合わせの原理とシュレーディンガー方程式を満たす。
全空間での確率の総和は 1 であり、確率分布は波動関数の相対的な強度だけで決まる。
波動関数に定数を掛けても、表す物理状態は変わらない。
波動関数の標準条件：一価、有限、連続。

1.2.3 波動関数の規格化

規格化条件 $$ \int_{-\infty}^{\infty} \psi^* (\vec r,t) \psi (\vec r,t) dV = 1 $$
規格化の方法 $$ \int_{-\infty}^{\infty} |\Psi(\vec r,t)|^2 dV = A^2 \int_{-\infty}^{\infty} |\psi(\vec r,t)|^2 dV = 1 $$ ここで $A$ は規格化定数。

1.3 シュレーディンガー方程式

1.3.1 自由粒子の波動方程式

概念
自由粒子とは外力を受けない粒子であり、その状態は波動関数 $\psi(\vec{r},t)$ によって表される。

自由粒子のシュレーディンガー方程式

$$ i\hbar \frac{\partial \psi(\vec{r},t)}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \psi(\vec{r},t) $$

平面波解

$$ \psi(\vec{r},t) = A e^{i(\vec{k}\cdot\vec{r} - \omega t)} $$

ここで

$$ E = \hbar \omega = \frac{\hbar^2 k^2}{2m},\qquad \vec{p} = \hbar \vec{k} $$

平面波による導出

1. 波動関数の仮定

$$ \psi(\vec{r},t) = A e^{i(\vec{k}\cdot\vec{r} - \omega t)} $$

2. 時間微分

$$ \frac{\partial \psi}{\partial t} = -i \omega \psi $$

したがって

$$ i\hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} = \hbar \omega \psi $$

3. ラプラシアン

$$ \nabla^2 \psi = -k^2 \psi $$

よって

$$ -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \psi = \frac{\hbar^2 k^2}{2m} \psi $$

4. エネルギー関係

$$ E = \frac{\hbar^2 k^2}{2m} = \hbar \omega $$

5. 方程式

$$ i\hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \psi $$

1.3.3 定常状態シュレーディンガー方程式と定常波動関数

概念

$$ \psi(\vec{r},t) = \phi(\vec{r}) e^{-i E t / \hbar} $$

の形に分離できる波動関数を定常状態波動関数という。

導出時間依存シュレーディンガー方程式

$$ i\hbar \frac{\partial \psi(\vec{r},t)}{\partial t} = \left[ -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 + V(\vec{r}) \right] \psi(\vec{r},t) $$

に上式を代入すると

$$ \left[ -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 + V(\vec{r}) \right] \phi(\vec{r}) = E \phi(\vec{r}) $$

を得る。

時間に依存しない形

$$ i \hbar \frac{df}{dt}=E f , \; f= e^{-i E t / \hbar} $$

$$ -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \phi(\vec{r}) + V(\vec{r}) \phi(\vec{r}) = E \phi(\vec{r}) $$

演算子からのシュレーディンガー方程式の導出

古典的エネルギー

$$ E = \frac{p^2}{2m} + V(\vec{r},t) $$

に対し、

$$ \hat{E} = i\hbar \frac{\partial}{\partial t}, \quad \hat{\vec{p}} = -i\hbar \nabla $$

を導入すると、

$$ \hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V(\vec{r},t) $$

より

$$ i\hbar \frac{\partial \psi(\vec{r},t)}{\partial t} = \hat{H} \psi(\vec{r},t) $$

すなわち

$$ i\hbar \frac{\partial \psi(\vec{r},t)}{\partial t} = \left[ -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V(\vec{r},t) \right] \psi(\vec{r},t) $$

となる。

状態の重ね合わせ原理

$$ \psi = c_1 \psi_1 + c_2 \psi_2 $$

が再び可能な状態となる。一般には

$$ \psi(\vec{r},t) = \sum_{n} c_n \phi_n(\vec{r},t),\qquad \sum_n |c_n|^2 = 1 $$

で表される。

第2章シュレーディンガー方程式の簡単な応用

2.1 一次元無限深ポテンシャル井戸

2.1.1 方程式の解

1. ポテンシャル

$$ V(x) = \begin{cases} 0, & 0 < x < L \\ \infty, & x \leq 0 \ \text{または} \ x \geq L \end{cases} $$

2. 方程式

$$ -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2 \phi(x)}{dx^2} = E \phi(x) $$

$$ \frac{d^2 \phi(x)}{dx^2} + k^2 \phi(x) = 0,\qquad k^2 = \frac{2mE}{\hbar^2} $$

3. 一般解

$$ \phi(x) = A \sin(kx) + B \cos(kx) $$

4. 境界条件

$$ \phi(0) = 0, \quad \phi(L) = 0 $$

から $B=0$、さらに $kL=n\pi$。

5. 固有関数と固有値

$$ \phi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right), \quad n=1,2,3,\dots $$

$$ E_n = \frac{n^2 \pi^2 \hbar^2}{2mL^2}, \quad n=1,2,3,\dots $$

2.2 数理方程式の特殊関数

2.2.1 直交性と規格化

$$ \int_a^b \phi_m(x)\,\phi_n(x)\,dx = 0 \quad (m \neq n) $$

$$ \int_a^b |\phi_n(x)|^2 dx = 1 $$

$$ \int_a^b \phi_m(x)\,\phi_n(x)\,dx = \delta_{mn} $$

2.2.2 直交規格化関数系による展開

$$ f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} c_n \phi_n(x),\qquad c_n = \int_a^b f(x)\,\phi_n(x)\,dx $$

2.2.3 フーリエ級数

$$ f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty \left[ a_n \cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right) + b_n \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right) \right] $$

2.2.4 直交規格化関数の構成

グラム・シュミット直交化を用いる：

$$ \phi_1(x) = \frac{f_1(x)}{\sqrt{\int |f_1(x)|^2 dx}} $$

$$ \phi_2(x) = \frac{f_2(x) - \int \phi_1(x) f_2(x)\,dx \,\phi_1(x)}{\sqrt{\int \left|f_2(x) - \int \phi_1(x) f_2(x)\,dx \,\phi_1(x)\right|^2 dx}} $$

2.2.5 ルジャンドル多項式とその他の特殊関数

$$ (1-x^2)\frac{d^2 y}{dx^2} - 2x \frac{dy}{dx} + l(l+1)y = 0 $$

$$ \int_{-1}^{1} P_l(x) P_{l'}(x)\,dx = \frac{2}{2l+1}\delta_{ll'} $$

球面調和関数 $Y_l^m(\theta,\phi)$
ベッセル関数 $J_n(x)$
エルミート多項式 $H_n(x)$

2.3 線形調和振動子

2.4 水素原子

2.4.1 方程式の解（$r,\ \theta,\ \phi$ の三つに分離）

$$ V(r) = -\dfrac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r} $$

$$ -\dfrac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\Psi(r,\theta,\phi) + V(r)\Psi = E\Psi. $$$$ \Psi(r,\theta,\phi)=R(r)\,Y(\theta,\phi) $$

と置いて変数分離すると、角部分と動径部分の方程式が得られる。

$\phi$ 方程式

$$ \frac{1}{\Phi(\phi)}\frac{d^2\Phi}{d\phi^2} = -m^2 \quad\Rightarrow\quad \Phi_m(\phi)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{i m\phi},\quad m\in\mathbb{Z} $$

$\theta$ 方程式

$$ \frac{1}{\sin\theta}\frac{d}{d\theta}\!\left(\sin\theta\frac{d\Theta}{d\theta}\right) +\left[l(l+1)-\frac{m^2}{\sin^2\theta}\right]\Theta=0 $$

解は陪ルジャンドル関数：

$$ \Theta_{l}^{m}(\theta)\propto P_l^{m}(\cos\theta) $$

球面調和関数

$$ Y_l^m(\theta,\phi)=N_{l}^{m}\,P_l^{m}(\cos\theta)\,e^{im\phi} $$

$$ \hat L^2 Y_l^m = l(l+1)\hbar^2 Y_l^m,\qquad \hat L_z Y_l^m = m\hbar Y_l^m $$

動径方程式

$$ -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2 u}{dr^2} + \left[ -\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r} + \frac{\hbar^2 l(l+1)}{2m r^2} \right] u = E u $$

エネルギー固有値

$$ E_n = -\frac{m e^4}{2(4\pi\varepsilon_0)^2 \hbar^2}\,\frac{1}{n^2} = -\frac{13.6057\ \mathrm{eV}}{n^2},\qquad n=1,2,3,\dots $$

波動関数

$$ \Psi_{n l m}(r,\theta,\phi)=R_{n l}(r)\,Y_l^m(\theta,\phi) $$

$$ R_{n l}(r)=N_{n l}\left(\frac{2r}{n a_0}\right)^{l} e^{-r/(n a_0)} L_{n-l-1}^{2l+1}\!\left(\frac{2r}{n a_0}\right) $$

2.4.2 結果と考察

$n$：主量子数
$l$：方位量子数
$m$：磁気量子数
クーロンポテンシャルではエネルギーは $n$ のみに依存する。
基底状態 $(1,0,0)$ は球対称で、動径節を持たない。

第3章力学量の演算子表示と表象理論

3.1 力学量と演算子の関係

3.1.1 演算子の数学的知識

演算子の定義
演算子は関数空間や状態空間に作用する規則であり、量子力学では物理量を表す。
線形性
$$ A(c_1\psi_1 + c_2\psi_2) = c_1 A\psi_1 + c_2 A\psi_2 $$
交換関係
$$ [A,B] = AB - BA $$
エルミート演算子
$$ \langle \psi | A\varphi \rangle = \langle A\psi | \varphi \rangle $$
可観測量はエルミート演算子で表される。

3.1.2 力学量と演算子

基本思想
古典量 $f(q,p)$ に対して量子演算子 $\hat f$ を対応させる。
位置表象における典型例
$$ \hat{x} = x,\qquad \hat{p} = -i\hbar \frac{\partial}{\partial x} $$
基本交換関係
$$ [\hat{x}, \hat{p}] = i\hbar $$
固有値方程式
$$ \hat{A}\psi_a = a\psi_a $$

3.2 演算子の交換関係と不確定性原理

3.2.1 交換関係

$$ [A,B] = AB - BA $$

$$ [\hat{x}, \hat{p}_x] = i\hbar $$

$$ [\hat{x}_i, \hat{p}_j] = i\hbar \delta_{ij}, \quad [\hat{x}_i, \hat{x}_j]=0, \quad [\hat{p}_i, \hat{p}_j]=0 $$

3.2.2 不確定性原理

$$ (\Delta A)^2 = \langle (A-\langle A \rangle)^2 \rangle,\qquad (\Delta B)^2 = \langle (B-\langle B \rangle)^2 \rangle $$

$$ \Delta A \cdot \Delta B \geq \frac{1}{2}\left| \langle [A,B] \rangle \right| $$

特に

$$ \Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{\hbar}{2} $$

$$ \Delta E \cdot \Delta t \gtrsim \hbar $$

3.3 表象理論

3.3.1 数学的基礎

$$ |\psi\rangle = \sum_n c_n |\phi_n\rangle,\qquad c_n = \langle \phi_n | \psi \rangle $$

$$ A_{mn} = \langle \phi_m | \hat{A} | \phi_n \rangle $$

$$ \sum_n |\phi_n\rangle \langle \phi_n| = I,\qquad \langle \phi_m | \phi_n \rangle = \delta_{mn} $$

3.3.2 状態と力学量の表象

位置表象

$$ \psi(x) = \langle x|\psi\rangle $$

$$ \hat{x} \psi(x) = x \psi(x), \quad \hat{p}_x \psi(x) = -i\hbar \frac{\partial}{\partial x}\psi(x) $$

運動量表象

$$ \phi(p) = \langle p|\psi\rangle $$

$$ \hat{p} \phi(p) = p \phi(p), \quad \hat{x} \phi(p) = i\hbar \frac{\partial}{\partial p}\phi(p) $$

エネルギー表象

$$ |\psi\rangle = \sum_n c_n |E_n\rangle, \quad c_n = \langle E_n|\psi\rangle $$

表象間の変換

$$ \phi(p) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}} \int_{-\infty}^{\infty} \psi(x) e^{-ipx/\hbar} dx $$

$$ \psi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}} \int_{-\infty}^{\infty} \phi(p) e^{ipx/\hbar} dp $$

3.4 軌道角運動量

3.4.1 角運動量

$$ \vec{L} = \vec{r} \times \vec{p},\qquad \hat{\vec{L}} = \hat{\vec{r}} \times \hat{\vec{p}} $$

$$ \hat{L}_x = y\hat{p}_z - z\hat{p}_y, \quad \hat{L}_y = z\hat{p}_x - x\hat{p}_z, \quad \hat{L}_z = x\hat{p}_y - y\hat{p}_x $$

$$ [\hat{L}_x, \hat{L}_y] = i\hbar \hat{L}_z, \quad [\hat{L}_y, \hat{L}_z] = i\hbar \hat{L}_x, \quad [\hat{L}_z, \hat{L}_x] = i\hbar \hat{L}_y $$

$$ \hat{L}^2 = \hat{L}_x^2 + \hat{L}_y^2 + \hat{L}_z^2 $$

3.4.2 角運動量保存

$$ [\hat{H}, \hat{L}_i] = 0 \quad \Rightarrow \quad \hat{L}_i \ \text{は保存する} $$

球対称ポテンシャルでは

$$ [\hat{H}, \hat{L}^2] = 0, \quad [\hat{H}, \hat{L}_z] = 0 $$

3.4.3 軌道角運動量の計算

$$ \hat{L}^2 Y_{lm}(\theta,\varphi) = l(l+1)\hbar^2 Y_{lm}(\theta,\varphi) $$

$$ \hat{L}_z Y_{lm}(\theta,\varphi) = m\hbar Y_{lm}(\theta,\varphi) $$

$$ L = \sqrt{l(l+1)} \hbar,\qquad L_z = m\hbar $$

第4章摂動論とその応用

4.1 定常摂動論

4.1.1 非縮退摂動論

$$ \hat{H} = \hat{H}^{(0)} + \lambda \hat{H}' $$

$$ E_n^{(1)} = \langle \psi_n^{(0)} | \hat{H}' | \psi_n^{(0)} \rangle $$

$$ E_n^{(2)} = \sum_{m \neq n} \frac{|\langle \psi_m^{(0)} | \hat{H}' | \psi_n^{(0)} \rangle|^2}{E_n^{(0)} - E_m^{(0)}} $$

$$ \psi_n^{(1)} = \sum_{m \neq n} \frac{\langle \psi_m^{(0)} | \hat{H}' | \psi_n^{(0)} \rangle}{E_n^{(0)} - E_m^{(0)}} \psi_m^{(0)} $$

4.1.2 縮退摂動論

$$ H'_{ij} = \langle \psi_i^{(0)} | \hat{H}' | \psi_j^{(0)} \rangle $$

を縮退部分空間で対角化する。

4.2 時間依存摂動論

$$ \hat{H}(t) = \hat{H}^{(0)} + \hat{H}'(t) $$

$$ |\psi(t)\rangle = \sum_n c_n(t) e^{-iE_n^{(0)}t/\hbar} |\psi_n^{(0)}\rangle $$

$$ c_f^{(1)}(t) = \frac{1}{i\hbar} \int_0^t \langle \psi_f^{(0)} | \hat{H}'(t') | \psi_i^{(0)} \rangle e^{i\omega_{fi} t'} dt' $$

$$ W_{i \to f} = \frac{2\pi}{\hbar} \, |\langle f | \hat{H}' | i \rangle|^2 \, \rho(E_f) $$

電子スピン

電子スピンの実験的発見

シュテルン＝ゲルラッハ実験
銀原子ビームを不均一磁場に通すと二本に分かれ、電子が軌道角運動量以外の内在的角運動量、すなわちスピンをもつことが示された。
実験的結論
- スピン量子数は $s = 1/2$。
- スピン投影は $m_s = \pm 1/2$。
- スピン磁気モーメント： $$ \vec{\mu}_s = -g_s \frac{e}{2m_e} \vec{S}, \quad g_s \approx 2 $$

電子スピンの理論

量子論的記述
$$ [\hat{S}_i, \hat{S}_j] = i\hbar \epsilon_{ijk} \hat{S}_k $$
物理的意味
スピンは電子の磁性的ふるまいを決め、フェルミ＝ディラック統計とパウリの排他原理につながる。

スピン角運動量

スピン演算子

$$ \hat{S}_x, \hat{S}_y, \hat{S}_z $$

$$ [\hat{S}_x, \hat{S}_y] = i\hbar \hat{S}_z, \quad \text{循環対称} $$

$$ \hat{S}^2 = \hat{S}_x^2 + \hat{S}_y^2 + \hat{S}_z^2 $$

$$ \hat{S}^2 |\chi_s\rangle = s(s+1)\hbar^2 |\chi_s\rangle $$

固有関数の行列表現

$$ |\uparrow\rangle = \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}, \quad |\downarrow\rangle = \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix} $$

$$ \hat{S}_x = \frac{\hbar}{2} \sigma_x, \quad \hat{S}_y = \frac{\hbar}{2} \sigma_y, \quad \hat{S}_z = \frac{\hbar}{2} \sigma_z $$

$$ \sigma_x = \begin{pmatrix}0 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix},\quad \sigma_y = \begin{pmatrix}0 & -i\\ i & 0\end{pmatrix},\quad \sigma_z = \begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & -1\end{pmatrix} $$

角運動量結合理論

$$ \hat{H}_{\text{SO}} = \xi(r)\, \vec{L} \cdot \vec{S} $$

$$ \vec{J} = \vec{L} + \vec{S}, \quad \hat{J}^2 = (\hat{L}+\hat{S})^2 $$

$$ \hat{J}^2 |j, m_j\rangle = j(j+1)\hbar^2 |j, m_j\rangle, \quad \hat{J}_z |j, m_j\rangle = m_j \hbar |j, m_j\rangle $$

$j = l \pm s$、$m_j = -j, -j+1, ..., j$。

同種粒子の原理

同種粒子系

概念と原理

同種粒子の定義
質量・電荷・スピンなどの物理的性質が完全に同一で、いかなる実験でも区別できない粒子を同種粒子という。
同種性原理
同種粒子を交換しても、ハミルトニアンと可観測量は変わらない。

同種粒子系のハミルトニアン

$$ \hat{H} = \sum_{i=1}^N \hat{T}_i + \sum_{i

$$ [\hat{H}, \hat{P}_{ij}] = 0 $$

同種粒子系の波動関数

$$ \hat{P}_{ij} \Psi(\dots, \vec{r}_i, \vec{r}_j, \dots) = \pm \Psi(\dots, \vec{r}_i, \vec{r}_j, \dots) $$

+：ボース粒子、対称
-：フェルミ粒子、反対称

フェルミ粒子ではスレーター行列式：

$$ \Psi(\vec{r}_1, \dots, \vec{r}_N) = \frac{1}{\sqrt{N!}} \begin{vmatrix} \psi_1(\vec{r}_1) & \cdots & \psi_1(\vec{r}_N) \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \psi_N(\vec{r}_1) & \cdots & \psi_N(\vec{r}_N) \end{vmatrix} $$

パウリの排他原理

原理の内容 半整数スピンをもつ同種フェルミ粒子では、任意の二粒子が完全に同一の量子状態を占めることはできない。
$$ \Psi(\text{同一量子状態}) = 0 $$
物理的意味 原子内電子の配置、原子構造、化学的性質、フェルミ気体の性質を説明する。
例
- 原子中の電子：一つの軌道には互いに逆向きのスピンをもつ二個まで。
- 金属電子：フェルミ準位を形成し、電気的・熱的性質を決める。

この記事は2025-09-05に孤筝の温暖小家で公開され、最終更新日は2025-09-05です

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量子物理学

量子物理学

第1章 微粒子の二重性と状態記述

1.1 量子力学の成立と応用

1.1.1 旧量子論

光電効果と光子仮説

光子のエネルギー・運動量関係と波粒統一

水素原子のボーア模型

ボーアの仮説

コンプトン効果

黒体放射

1.1.2 微視的粒子の波動粒子二重性

ド・ブロイ仮説

ド・ブロイ関係

1.2 状態と波動関数

1.2.1 不確定性原理

1.2.2 波動関数

1.2.3 波動関数の規格化

1.3 シュレーディンガー方程式

1.3.1 自由粒子の波動方程式

平面波による導出

1.3.3 定常状態シュレーディンガー方程式と定常波動関数

演算子からのシュレーディンガー方程式の導出

状態の重ね合わせ原理

第2章 シュレーディンガー方程式の簡単な応用

2.1 一次元無限深ポテンシャル井戸

2.1.1 方程式の解

2.2 数理方程式の特殊関数

2.2.1 直交性と規格化

2.2.2 直交規格化関数系による展開

2.2.3 フーリエ級数

2.2.4 直交規格化関数の構成

2.2.5 ルジャンドル多項式とその他の特殊関数

2.3 線形調和振動子

2.4 水素原子

2.4.1 方程式の解（$r,\ \theta,\ \phi$ の三つに分離）

2.4.2 結果と考察

第3章 力学量の演算子表示と表象理論

3.1 力学量と演算子の関係

3.1.1 演算子の数学的知識

3.1.2 力学量と演算子

3.2 演算子の交換関係と不確定性原理

3.2.1 交換関係

3.2.2 不確定性原理

3.3 表象理論

3.3.1 数学的基礎

3.3.2 状態と力学量の表象

3.4 軌道角運動量

3.4.1 角運動量

3.4.2 角運動量保存

3.4.3 軌道角運動量の計算

第4章 摂動論とその応用

4.1 定常摂動論

4.1.1 非縮退摂動論

4.1.2 縮退摂動論

4.2 時間依存摂動論

電子スピン

電子スピンの実験的発見

電子スピンの理論

スピン角運動量

スピン演算子

固有関数の行列表現

角運動量結合理論

同種粒子の原理

同種粒子系

概念と原理

同種粒子系のハミルトニアン

同種粒子系の波動関数

パウリの排他原理

第1章微粒子の二重性と状態記述

第2章シュレーディンガー方程式の簡単な応用

第3章力学量の演算子表示と表象理論

第4章摂動論とその応用