著者: 孤筝(lvbowen040427@163.com)

流体静力学の基礎

気体の性質

圧縮性

体積弾性係数

定義：単位相対体積変化を生じさせるために必要な圧力増加

一定質量の気体において、体積と密度は反比例の関係にあり、すなわち

これを代入すると

常温における水の体積弾性係数：$2.1 \times 10^9N/m^2$

通常、水は非圧縮性流体と見なすことができる。

粘性

粘性（viscosity）とは、流体が流動する際に生じる内部摩擦の性質を指します。粘性は流体の種類や温度によって大きく変化します。

粘性の定義

粘性は、流体の層間に速度勾配が存在するときに生じるせん断応力として定義されます。ニュートン流体では、せん断応力τは速度勾配du/dyに比例します：

τ = μ * (du/dy)

ここで：

• μ：粘性係数（動粘度）
• du/dy：速度勾配

粘性の種類

1. 動粘度（Dynamic viscosity）
   単位はPa・s（パスカル秒）。絶対粘度とも呼ばれます。

2. 動粘度（Kinematic viscosity）
   動粘度を密度で割った値で、単位はm²/s。ν = μ/ρ で表されます。

温度の影響

• 液体：温度が上昇すると粘性は減少します
• 気体：温度が上昇すると粘性は増加します

代表的な流体の粘性

非ニュートン流体

剪断速度によって粘性が変化する流体を非ニュートン流体と呼びます。例えば：

• ケチャップ（シア・シニング流体）
• 歯磨き粉（ビンガム流体）

# 粘性計算の例
def calculate_shear_stress(viscosity, velocity_gradient):
    """
    せん断応力を計算する
    viscosity: 粘性係数 (Pa・s)
    velocity_gradient: 速度勾配 (1/s)
    """
    return viscosity * velocity_gradient

粘性は、ポンプの設計、潤滑、食品加工など、多くの工業プロセスで重要なパラメータです。

ニュートンの粘性法則

流体の運動によって生じる摩擦抵抗は接触面積に比例する

$\tau$ ：摩擦応力、単位面積あたりの摩擦抵抗

$\vec{n}$ ：接触面の法線方向

$\mu$ ：比例定数、流体の粘性係数と呼ばれ、単位は $N \cdot s/m^2$

$\frac{du}{d \vec{n}}$ ：速度勾配

異なる流体媒質の粘性係数値はそれぞれ異なり、粘性係数は温度変化に伴って変化し、圧力とは基本的に関係ない。

気体の粘性係数は温度上昇と共に増加する。

サザーランドの式

空気の粘性係数が温度によって変化する関係を表す近似式の一つ、サザーランドの式

$\mu_0$ ：温度が $288.15K$ のときの空気の粘性係数

$C$ ：定数、値は $110.4K$

動粘度係数

$\nu$ ：動粘度係数，単位は $m^2/s$

$\mu$ ：粘性係数

$\rho$ ：密度

熱伝導性

定義：気体中のある方向に温度勾配が存在する場合、熱は温度の高い場所から低い場所へと伝わる。この性質を気体の熱伝導性と呼ぶ。

単位時間内に伝達される熱量は、伝熱面積に比例し、熱流方向の温度勾配に比例する。すなわち、

$q$ ：単位時間当たりの単位面積を通過する熱量、単位 $kJ/(m^2 \cdot s)$

$\frac{\partial T}{\partial \vec{n}}$ ：温度勾配、単位 $K/m$

$\lambda$ ：熱伝導率、単位 $kJ/(m \cdot K \cdot s)$

負号は、熱の伝達方向が常に温度勾配の方向と逆であることを示す。

流体の分類

連続体仮説

理想流体

粘性を考慮しないこのモデルでは、流体微粒子は粘性力の影響を受けません。主に気体に適用されます。

粘性を無視した気体は理想気体と呼ばれます。

圧力の等方性

理想的な流体中の一点における圧力は、受圧面の方位とは無関係であり、空間座標の連続関数にすぎません。

非圧縮性流体

気体の圧縮性や弾性を考慮せず、体積弾性係数が無限大、または流体密度が定数と見なすことができる。液体によく用いられる。

非圧縮性流体の流動法則を解くには、力学法則に従うだけでよく、熱力学関係を考慮する必要はない。

流速が低い気体の場合も、非圧縮性流体として流動問題を扱うことができる。

断熱流体

熱伝導性を考慮しない流体モデル、つまり流体の熱伝導係数をゼロと見なす。低速で流れる空気は一般に熱伝導係数が非常に小さいため、断熱と見なすことができる。

気体微粒子間の熱伝導作用を考慮しない気体モデルを断熱気体と呼ぶ。

完全気体

いかなる状態においても、気体の圧力、密度、温度の間には一定の関数関係が存在する

完全気体の状態方程式

$\overline{R}$ ：普遍気体定数、$8315m^2/(s^2 \cdot K)$

$m$ ：ある気体の相対分子質量

$R=\frac{\overline{R}}{m}$ のとき、

$R$ は気体定数で、空気の場合は約 $287.035m^2/(s^2 \cdot K)$

流体微団に働く力

プレッシャー

せん断応力（摩擦力）

基本相互作用

• 重力
• 電磁力
• 遠心力

静水圧平衡方程式

==静止流体==中のある点 $P$ を考え、その圧力を $p$ とする。

デカルト座標系を構築し、流体内部の各点における圧力を

とする。

$P$ を中心として、各辺が座標軸に平行な直方体を作成し、辺の長さを $dx, dy, dz$ とする。

$x$ 軸方向に注目すると、二つの面に加わる圧力の大きさはそれぞれ

となる。

流体微粒子の $x$ 軸方向に働く体積力は

である。ここで、$f_x$ は単位質量に働く体積力の $x$ 軸方向成分を表す。

流体が静止しているため、流体微粒子には力の平衡が成り立つ。

$x$ 軸方向の力の平衡方程式は

これを整理すると

が得られる。

$\because$ $p$ の全微分方程式は

$\therefore$

==体積力ポテンシャル関数==を

と定義する。

その全微分は

ここで、$\frac{\partial \varOmega}{\partial x}=f_x$、$\frac{\partial \varOmega}{\partial y}=f_y$、$\frac{\partial \varOmega}{\partial z}=-f_z$ である。

以上の関係から

が得られる。両辺を $x,y,z$ について三重積分すると

ある点 A における圧力 $p_a$、二点間の体積力ポテンシャル関数の差 $\varOmega_a-\varOmega$、静止流体の密度 $\rho$（一様）が既知の場合、任意の点における体積力ポテンシャル関数 $\varOmega$ からその点の圧力を求めることができる：

推論: 流体中の等圧面は必ず体積力の等ポテンシャル面となる。

大気の層

下部大気圏

• 高度：海面——85 km
• 特徴：組成が均一、窒素が総体積の78.1%を占め、酸素が総体積の21%を占める

対流圏

• 高度
  • 赤道：16~18 km
  • 中緯度地域：10~12 km
  • 極地：7~10 km
• 質量：大気全体の質量の75%を占める
• 特徴：上下方向の気流があり、嵐や雷雨現象が発生する。高度が上がるにつれ、気温が急速に低下する。

対流圏界面

遷移層で、厚さは数百メートルから1～2キロメートル程度。

成層圏

• 高度：対流圏～32 km
• 質量：大気圏の質量の約4分の1を占める
• 特徴：気象現象がなく、空気は水平に流動し、温度は一定（平均約216.65 K）を保つ

中間大気圏

• 高度：32~85 km
• 質量：1/3000
• 温度：最初に上昇し、その後下降し、85 km の地点で106 K以下まで下がることがある。

高層大気

• 高度：85 km 以上
• 特徴：組成が不均一で、太陽放射を直接吸収する

熱圏（Thermosphere）

• 高度：85～500 km
• 温度：高度とともに上昇し、500 kmでは日中1370 Kに達する
• 特徴：太陽からの短波放射を直接受ける

外層大気

• 高度：500+ km，大気は徐々に星間空間と融合する
• 質量：$1/10^{11}$
• 特徴：大気が希薄すぎて、温度で定義するのに適さない。空気分子は宇宙空間に逃げ出すことができる。

上層大気と電離層

• 上層大気は太陽の短波放射によって解離され、電子とイオンとなり、電離層を形成します。
• 100 km以上の高高度では、空気は良い導体となります。
• 150 km以上では、空気が薄すぎて音を伝えることができません。

D層

• 高度：60～80 km

E 層

• 高度：100~120 km

$F_1$ 層

• 高度：180～220 km

$F_2$ 層

• 高度：300~350 km

国際標準大気

航空工学において統一された大気圧、密度、温度などのパラメータ基準で、中緯度地域の年間平均条件に基づいて統計的に決定されたものを国際標準大気と呼ぶ。

流体運動学と力学の基礎

流れ場

流れ場：運動する流体で満たされた空間

流動パラメータ：流体の運動特性を表す物理量、例えば速度、密度、圧力など。

流体力学の方法：ラグランジュ法、オイラー法

ラグランジュ法

質点（運動）に焦点を当てる

• 流れ場の各質点の運動パラメータが時間とともにどのように変化するか、および運動軌跡を研究する。
• すべての流体質点の運動パラメータの変化を総合することで、流れ場全体の運動法則を得る。

オイラー法

空間点に着目する（固定）

• 流体粒子が空間の固定点を通過する際の、運動パラメータの時間変化を研究する。
• 流れ場内の全ての空間点における運動パラメータの変化を総合することで、流れ場全体の運動法則を得ることができる。

オイラー法では、流れ場の運動パラメータは一般に空間点の座標と時間の関数となる。

速度を例にとると

4つの変数は独立している。

一般的な3次元空間では、デカルト座標系を構築し、スカラーパラメータを$x,y,z$軸方向に分解して分析する。

微分して加速度成分を得る

$\because$ $\frac{dx}{dt}=v_x,\frac{dy}{dt}=v_y,\frac{dz}{dt}=v_z$

$\therefore$

これにより、加速度は時間と位置の関数であることが分かる

局所加速度

等式右边第一項は、空間固定点における流体粒子の速度の時間変化率を表し、局所加速度と呼ばれる。（速度と時間の関係）

局所加速度は、流れ場中の速度が時間とともに変化することによって生じる。

移流加速度

後ろの3つの項は、同じ瞬間に、流体粒子が速度ベクトルの方向に沿って空間のある点から隣接する別の点へ移動する際の速度変化率を反映しており、移流加速度と呼ばれる。（速度と変位の関係）

移流加速度は、流れ場の不均一性によって引き起こされる。

非定常流れ場

流れ場において、少なくとも一つの空間点における物理量が時間とともに変化する状態。

定常流れ場

流れ場において任意の空間点における物理量が時間的に変化しない。

軌跡線

流れ場で標識された運動する流体粒子が一定時間内に通過するすべての空間点の集合を、その流体粒子の軌跡線と呼ぶ。

流線

流れ場の各空間点において速度ベクトルと接する曲線を流線と呼ぶ。

流線は、同一時刻における異なる流体粒子によって形成される曲線であり、その時刻における異なる流体粒子の速度方向を示す。

特徴：

• 定常流れ場では、各流線は時間とともに変化しない。

• 非定常流れ場では、時間とともに変化する流線が存在する。

• 定常流れ場では、ある空間点を通る流線は、その空間点を通るすべての流体粒子の軌跡と一致する。

• 一般的に流線は交わらない（同一時刻、同一空間点に2つの速度方向は存在しない）。

• 速度が0の空間点では、流線は交わることができる。通常、速度が0の空間点を駐点と呼ぶ。

• 速度が無限大の空間点では、流線は交わることができる。通常、速度が無限大の空間点を特異点と呼ぶ。

• 流線が接する場合、接点以降の2つの線は一致する。

• 流れ場の各点には流線が通っており、すべての流線の集合を流線譜または単に流譜と呼ぶ。

流線微分方程式

流線上のある点 $M(x,y,z)$ における速度を $\vec{v}$ とし、$M$ 点の流線微小要素の長さを $ds$ とする。デカルト座標系では、$v_x,v_y,v_z$ および $dx,dy,dz$ に分解される。

流線上の任意の点における速度の方向は流線の接線方向と同じであるため、

ここで、$\vec{i}$ は $x$ 軸方向の単位法線ベクトルであり、$y,z$ 軸についても同様である。

上式が流線の微分方程式である。

速度分布が既知の場合、流場中の任意の点を通る流線の形状を求めることができる。

流管

流れ場において、流線ではない 閉じた 曲線 C があり、C 上の各点を通る流線を描いたとき、これらの流線の集合によって形成される管状の曲面を流管と呼びます。

流体微団の運動解析

運動形式

剛体運動

• 平行移動
• 軸周りの回転

流体の運動

• 並進運動
• 軸回転運動
• 変形運動
  • 直線変形
  • せん断変形

二次元解析

![Pasted image 20240902212258.png][1]

流れ場の中から任意に長方形の流体微小要素 ABCD を選び、その二辺の長さをそれぞれ $\delta_x,\delta_y$ とし、いずれも微小量とする。

$v_x,v_y$ を点 A における流体微小要素の分速度とし、分速度は全て空間点座標の連続関数であるとする。すると、点 B, D の速度は点 A におけるテイラー級数展開で表現できる。

$\because$ 流体微小要素の辺長は十分に小さい

$\therefore$ 二次以上の微小量は無視できる

流体微小要素が運動する際、全体の運動に加えて、点 B は点 A に対して相対運動もする。

$x$ 軸方向の相対運動速度は $v_{Bx}-v_x=\frac{\partial v_x}{\partial x}\delta_x$ であり、$y$ 軸方向も同様に $\frac{\partial v_x}{\partial x}\delta_x$ となる。

点 D の点 A に対する相対運動速度は $v_{Dx}-v_x=\frac{\partial v_x}{\partial y}\delta_y,v_{Dy}-v_y=\frac{\partial v_y}{\partial y}\delta_y$ である。

線変形運動

![Pasted image 20240902212840.png][2]

相対速度 $\frac{\partial v_x}{\partial x}\delta_x$ と $\frac{\partial v_y}{\partial y}\delta_y$ は、長方形 ABCD の辺の直線変形速度であり、時間 $dt$ の間に

長方形の面積の相対変化率は

高次の微小量を無視すると、

これを三次元空間に拡張すると、同様に

角変形運動

![Pasted image 20240902214219.png][3]

相対速度 $\frac{\partial v_y}{\partial x}\delta x,\frac{\partial v_x}{\partial y}\delta y$ は、AB辺とAD辺が点Aを中心に回転することを表す。

反時計回りの回転を正と規定する。

AB辺の回転角速度

同様に、AD辺の回転角速度は

微小領域の $z$ 軸周りの回転角速度

定義：微小領域の $xOy$ 平面への投影において、互いに垂直な2本の直線が $z$ 軸周りに回転する角速度の平均値。（角速度和の半分）

角変形率

定義：微小要素の $xOy$ 平面への投影において、互いに垂直な2本の直線が単位時間内に成す角度の変化量の半分。（角速度差の半分）

三次元空間に拡張すると、流体微小要素の三軸回転角速度と角変形率も同様に求められる。

略。

発散度

定義：各速度成分がその成分方向における方向微分の和を速度ベクトルの発散度とする。

物理的意味：流体微粒子の運動過程における相対的な体積変化率を表す。

==前提条件==：流体の密度が変化しない（流体の運動を非圧縮流れと見なす）。

一点から発生する体積流量を以下のように定義する。

これは、単位時間内における空間の一点での単位体積制御体の体積正味流出量に等しく、流体微粒子の運動中の体積相対変化率に等しい。

回転 (curl)

定義：角速度の2倍。

速度ポテンシャル

流体力学において、流体微粒子に回転運動があるかどうかによって、流体運動を以下のように分類できます:

• 有回転運動
• 無回転運動

流れを無回転運動と見なす場合、$\omega=0$となり、

上記の方程式系は、$v_xdx+v_ydy+v_zdz$がある関数$\phi(x,y,z)$の全微分を構成するための必要十分条件です。すなわち、

$\phi$を速度ポテンシャルまたは速度ポテンシャル関数と呼びます。

円柱座標を使用する場合、

スカラー

圧力

密度

温度

ベクトル

流速

理想気体の状態方程式

$R=8.314J \cdot mol^{-1} \cdot K^{-1}$ は理想気体定数である。

$R'$ は==比気体定数==と呼ばれる。

理想気体の空気の場合、$R'=287J/(kg \cdot K)$ である。

空気力学とモーメント

空気動力 $R$：合力

空気が物体に及ぼす力

• 圧力 $p$ ：Pressure
• せん断応力 $\tau$ ：Shear stress

圧力とせん断応力の合力が、空気が物体に及ぼす力、すなわち空気動力となる。

風軸座標系

• 揚力 $L$ ：Lift、垂直成分
• 抗力 $D$ ：Drag、水平成分

自由流（フリーストリーム）

自由流とは、航空機の前方で乱されていない気流、すなわち航空機などの干渉がない場合の空気の自然な流れ現象を指します。

揚力と抗力の方向は自由流の方向によって決まります。

迎角（アングル・オブ・アタック）

迎角（英語：Angle of attack、略称：AOA、一般的にギリシャ文字αで表記）は、空気力学の用語で、翼の翼弦と自由流（または相対風の方向）との間の角度を指します。航空機の迎角の場合、定義は機軸と相対風との間の角度となります。翼が上方に向いている場合は正の迎角、下方に向いている場合は負の迎角となります。

体軸座標系

• 法線力 $N$：Normal、翼に垂直な方向
• 軸力 $A$：Axial、翼に平行な方向

モーメント $M$：Moment

機首を上げるモーメントを正とし、機首を下げるモーメントを負とする。

動圧 $q$

自由流 $V_{\infty},\rho_{\infty}$ によって生成される動圧

単位は $Pa$ 、圧力と同じ

特徴幾何サイズ $S$

三次元物体の場合は面積、二次元物体の場合は周長を指します。

無次元パラメータ

三次元物体には大文字の $C$ がよく使われ、二次元物体には小文字の $c$ がよく使われます。

揚力係数

抗力係数

法線力係数

軸力係数

空力係数

モーメント係数

圧力係数

$p$：ある点の静圧

$p_{\infty}$：自由流の静圧

摩擦力係数

$\tau$：ある点での剪断応力、つまり剪断応力の面積に対する微分。次元は圧力と同じ。

二つの中心

空力中心（空力焦点）

空力中心（英語：aerodynamic center、略称AC）は空気力学において、翼型上の固定点を指し、この点を中心としたピッチングモーメントは迎え角の変化によって変化しない。つまり、

空力中心と圧力中心の違い

圧力中心は力系を合成した際に合力モーメントが0になる特別な点であり、圧力中心は空力中心の後方に位置します。一方、空力中心は合力モーメントが不変となる点です。

圧力中心の位置は迎え角の変化に伴って変化します。迎え角が増加すると揚力が増加し、圧力中心は前方に移動します。これにより、圧力中心と空力中心の距離が短縮され、増加した揚力と短縮された腕の長さの積がちょうど不変のモーメントとなります。これはまさに空力中心の定義が要求するものです。

この記事は2024-09-02に孤筝の温暖小家で公開され、最終更新日は2024-09-02です

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