量子物理学 | 孤筝

2025-09-05 2025-09-05

第1章微粒子の二重性と状態記述

1.1 量子力学の成立と応用

1.1.1 旧量子論

光電効果と光子仮説

光子のエネルギー：$E = h\nu$
しきい周波数：$\nu_0 = \dfrac{W_0}{h}$、$\nu < \nu_0$ では光電子は放出されない
光電効果の式：
$$ E_k^{\text{max}} = \frac{1}{2}\mu v^2_m = h\nu - W_0 $$
光電効果は光の粒子性を示す。

光子のエネルギー・運動量関係と波粒統一

相対論的エネルギー・運動量関係
$$ E^2=(pc)^2+(m_0c^2)^2,\quad m_0=0\ \Rightarrow\ E=c\,\lVert\vec p\rVert $$
光子のエネルギー
$$ E=h\nu=\frac{hc}{\lambda}=\hbar\omega $$
光子の運動量（ベクトル形式）
$$ \vec p=\frac{E}{c}\,\mathbf n=\frac{h}{\lambda}\,\mathbf n=\hbar\vec k,\quad \vec k=\frac{2\pi}{\lambda}\,\mathbf n $$
ただし $\mathbf n$ は進行方向の単位ベクトル。
波動像と粒子像の対応
$$ E\ \longleftrightarrow\ \hbar\omega,\qquad \vec p\ \longleftrightarrow\ \hbar\vec k $$

水素原子のボーア模型

軌道角運動量の量子化： $$ L = n\hbar,\quad n=1,2,3,\dots $$
エネルギー準位： $$ E_n = -\frac{13.6\ \text{eV}}{n^2} $$
これにより水素原子スペクトルの線状構造が説明される。

ボーアの仮説

電子は安定軌道上ではエネルギーを放射しない。
異なる準位間を遷移するとき、電子はエネルギーを吸収または放出する： $$ \Delta E = h\nu $$

コンプトン効果

高エネルギー光子が電子と散乱すると、波長は $$ \Delta\lambda = \lambda' - \lambda = \frac{h}{m_ec}(1-\cos\theta) $$ だけ増加する。
この実験は光子の粒子性と運動量保存を裏づけた。

黒体放射

エネルギー量子化仮説：電磁場のエネルギーは $E=nh\nu$ の離散値をとる。
プランク公式： $$ u(\nu,T)=\frac{8\pi h\nu^3}{c^3}\frac{1}{e^{h\nu/kT}-1} $$
これにより黒体放射の実験曲線が説明され、量子論が始まった。

1.1.2 微視的粒子の波動粒子二重性

ド・ブロイ仮説

微視的粒子は粒子性だけでなく波動性ももつ。
運動量 $\vec p$ をもつ粒子には、対応する物質波が存在し、その波長と振動数は運動量とエネルギーに対応する。

ド・ブロイ関係

波長： $$ \lambda = \frac{h}{p} $$
ベクトル形式： $$ \vec p = \hbar \vec k $$
振動数： $$ E = h\nu = \hbar\omega $$

1.2 状態と波動関数

1.2.1 不確定性原理

微視的粒子の位置と運動量は同時に任意の精度では決定できない。
ハイゼンベルクの不確定性関係： $$ \Delta x \cdot \Delta p_x \geq \frac{\hbar}{2} $$
エネルギーと時間についても $$ \Delta E \cdot \Delta t \geq \frac{\hbar}{2} $$ が成り立つ。
本質は波動粒子二重性と演算子の非可換性にある。

1.2.2 波動関数

微視的粒子の状態を表すために 波動関数 $\psi(\vec r,t)$ を導入する。
確率解釈：$|\psi(\vec r,t)|^2 dV$ は体積要素 $dV$ 内に粒子を見出す確率である。
波動関数は重ね合わせの原理とシュレーディンガー方程式を満たす。
全空間での確率の総和は 1 であり、確率分布は波動関数の相対的な強度だけで決まる。
波動関数に定数を掛けても、表す物理状態は変わらない。
波動関数の標準条件：一価、有限、連続。

1.2.3 波動関数の規格化

規格化条件 $$ \int_{-\infty}^{\infty} \psi^* (\vec r,t) \psi (\vec r,t) dV = 1 $$
規格化の方法 $$ \int_{-\infty}^{\infty} |\Psi(\vec r,t)|^2 dV = A^2 \int_{-\infty}^{\infty} |\psi(\vec r,t)|^2 dV = 1 $$ ここで $A$ は規格化定数。

1.3 シュレーディンガー方程式

1.3.1 自由粒子の波動方程式

概念
自由粒子とは外力を受けない粒子であり、その状態は波動関数 $\psi(\vec{r},t)$ によって表される。

自由粒子のシュレーディンガー方程式

$$ i\hbar \frac{\partial \psi(\vec{r},t)}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \psi(\vec{r},t) $$

平面波解

$$ \psi(\vec{r},t) = A e^{i(\vec{k}\cdot\vec{r} - \omega t)} $$

ここで

$$ E = \hbar \omega = \frac{\hbar^2 k^2}{2m},\qquad \vec{p} = \hbar \vec{k} $$

平面波による導出

1. 波動関数の仮定

$$ \psi(\vec{r},t) = A e^{i(\vec{k}\cdot\vec{r} - \omega t)} $$

2. 時間微分

$$ \frac{\partial \psi}{\partial t} = -i \omega \psi $$

したがって

$$ i\hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} = \hbar \omega \psi $$

3. ラプラシアン

$$ \nabla^2 \psi = -k^2 \psi $$

よって

$$ -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \psi = \frac{\hbar^2 k^2}{2m} \psi $$

4. エネルギー関係

$$ E = \frac{\hbar^2 k^2}{2m} = \hbar \omega $$

5. 方程式

$$ i\hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \psi $$

1.3.3 定常状態シュレーディンガー方程式と定常波動関数

概念

$$ \psi(\vec{r},t) = \phi(\vec{r}) e^{-i E t / \hbar} $$

の形に分離できる波動関数を定常状態波動関数という。

導出時間依存シュレーディンガー方程式

$$ i\hbar \frac{\partial \psi(\vec{r},t)}{\partial t} = \left[ -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 + V(\vec{r}) \right] \psi(\vec{r},t) $$

に上式を代入すると

$$ \left[ -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 + V(\vec{r}) \right] \phi(\vec{r}) = E \phi(\vec{r}) $$

を得る。

時間に依存しない形

$$ i \hbar \frac{df}{dt}=E f , \; f= e^{-i E t / \hbar} $$

$$ -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \phi(\vec{r}) + V(\vec{r}) \phi(\vec{r}) = E \phi(\vec{r}) $$

演算子からのシュレーディンガー方程式の導出

古典的エネルギー

$$ E = \frac{p^2}{2m} + V(\vec{r},t) $$

に対し、

$$ \hat{E} = i\hbar \frac{\partial}{\partial t}, \quad \hat{\vec{p}} = -i\hbar \nabla $$

を導入すると、

$$ \hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V(\vec{r},t) $$

より

$$ i\hbar \frac{\partial \psi(\vec{r},t)}{\partial t} = \hat{H} \psi(\vec{r},t) $$

すなわち

$$ i\hbar \frac{\partial \psi(\vec{r},t)}{\partial t} = \left[ -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V(\vec{r},t) \right] \psi(\vec{r},t) $$

となる。

状態の重ね合わせ原理

$$ \psi = c_1 \psi_1 + c_2 \psi_2 $$

が再び可能な状態となる。一般には

$$ \psi(\vec{r},t) = \sum_{n} c_n \phi_n(\vec{r},t),\qquad \sum_n |c_n|^2 = 1 $$

で表される。

第2章シュレーディンガー方程式の簡単な応用

2.1 一次元無限深ポテンシャル井戸

2.1.1 方程式の解

1. ポテンシャル

$$ V(x) = \begin{cases} 0, & 0 < x < L \\ \infty, & x \leq 0 \ \text{または} \ x \geq L \end{cases} $$

2. 方程式

$$ -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2 \phi(x)}{dx^2} = E \phi(x) $$

$$ \frac{d^2 \phi(x)}{dx^2} + k^2 \phi(x) = 0,\qquad k^2 = \frac{2mE}{\hbar^2} $$

3. 一般解

$$ \phi(x) = A \sin(kx) + B \cos(kx) $$

4. 境界条件

$$ \phi(0) = 0, \quad \phi(L) = 0 $$

から $B=0$、さらに $kL=n\pi$。

5. 固有関数と固有値

$$ \phi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right), \quad n=1,2,3,\dots $$

$$ E_n = \frac{n^2 \pi^2 \hbar^2}{2mL^2}, \quad n=1,2,3,\dots $$

2.2 数理方程式の特殊関数

2.2.1 直交性と規格化

$$ \int_a^b \phi_m(x)\,\phi_n(x)\,dx = 0 \quad (m \neq n) $$

$$ \int_a^b |\phi_n(x)|^2 dx = 1 $$

$$ \int_a^b \phi_m(x)\,\phi_n(x)\,dx = \delta_{mn} $$

2.2.2 直交規格化関数系による展開

$$ f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} c_n \phi_n(x),\qquad c_n = \int_a^b f(x)\,\phi_n(x)\,dx $$

2.2.3 フーリエ級数

$$ f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty \left[ a_n \cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right) + b_n \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right) \right] $$

2.2.4 直交規格化関数の構成

グラム・シュミット直交化を用いる：

$$ \phi_1(x) = \frac{f_1(x)}{\sqrt{\int |f_1(x)|^2 dx}} $$

$$ \phi_2(x) = \frac{f_2(x) - \int \phi_1(x) f_2(x)\,dx \,\phi_1(x)}{\sqrt{\int \left|f_2(x) - \int \phi_1(x) f_2(x)\,dx \,\phi_1(x)\right|^2 dx}} $$

2.2.5 ルジャンドル多項式とその他の特殊関数

$$ (1-x^2)\frac{d^2 y}{dx^2} - 2x \frac{dy}{dx} + l(l+1)y = 0 $$

$$ \int_{-1}^{1} P_l(x) P_{l'}(x)\,dx = \frac{2}{2l+1}\delta_{ll'} $$

球面調和関数 $Y_l^m(\theta,\phi)$
ベッセル関数 $J_n(x)$
エルミート多項式 $H_n(x)$

2.3 線形調和振動子

2.4 水素原子

2.4.1 方程式の解（$r,\ \theta,\ \phi$ の三つに分離）

$$ V(r) = -\dfrac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r} $$

$$ -\dfrac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\Psi(r,\theta,\phi) + V(r)\Psi = E\Psi. $$$$ \Psi(r,\theta,\phi)=R(r)\,Y(\theta,\phi) $$

と置いて変数分離すると、角部分と動径部分の方程式が得られる。

$\phi$ 方程式

$$ \frac{1}{\Phi(\phi)}\frac{d^2\Phi}{d\phi^2} = -m^2 \quad\Rightarrow\quad \Phi_m(\phi)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{i m\phi},\quad m\in\mathbb{Z} $$

$\theta$ 方程式

$$ \frac{1}{\sin\theta}\frac{d}{d\theta}\!\left(\sin\theta\frac{d\Theta}{d\theta}\right) +\left[l(l+1)-\frac{m^2}{\sin^2\theta}\right]\Theta=0 $$

解は陪ルジャンドル関数：

$$ \Theta_{l}^{m}(\theta)\propto P_l^{m}(\cos\theta) $$

球面調和関数

$$ Y_l^m(\theta,\phi)=N_{l}^{m}\,P_l^{m}(\cos\theta)\,e^{im\phi} $$

$$ \hat L^2 Y_l^m = l(l+1)\hbar^2 Y_l^m,\qquad \hat L_z Y_l^m = m\hbar Y_l^m $$

動径方程式

$$ -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2 u}{dr^2} + \left[ -\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r} + \frac{\hbar^2 l(l+1)}{2m r^2} \right] u = E u $$

エネルギー固有値

$$ E_n = -\frac{m e^4}{2(4\pi\varepsilon_0)^2 \hbar^2}\,\frac{1}{n^2} = -\frac{13.6057\ \mathrm{eV}}{n^2},\qquad n=1,2,3,\dots $$

波動関数

$$ \Psi_{n l m}(r,\theta,\phi)=R_{n l}(r)\,Y_l^m(\theta,\phi) $$

$$ R_{n l}(r)=N_{n l}\left(\frac{2r}{n a_0}\right)^{l} e^{-r/(n a_0)} L_{n-l-1}^{2l+1}\!\left(\frac{2r}{n a_0}\right) $$

2.4.2 結果と考察

$n$：主量子数
$l$：方位量子数
$m$：磁気量子数
クーロンポテンシャルではエネルギーは $n$ のみに依存する。
基底状態 $(1,0,0)$ は球対称で、動径節を持たない。

第3章力学量の演算子表示と表象理論

3.1 力学量と演算子の関係

3.1.1 演算子の数学的知識

演算子の定義
演算子は関数空間や状態空間に作用する規則であり、量子力学では物理量を表す。
線形性
$$ A(c_1\psi_1 + c_2\psi_2) = c_1 A\psi_1 + c_2 A\psi_2 $$
交換関係
$$ [A,B] = AB - BA $$
エルミート演算子
$$ \langle \psi | A\varphi \rangle = \langle A\psi | \varphi \rangle $$
可観測量はエルミート演算子で表される。

3.1.2 力学量と演算子

基本思想
古典量 $f(q,p)$ に対して量子演算子 $\hat f$ を対応させる。
位置表象における典型例
$$ \hat{x} = x,\qquad \hat{p} = -i\hbar \frac{\partial}{\partial x} $$
基本交換関係
$$ [\hat{x}, \hat{p}] = i\hbar $$
固有値方程式
$$ \hat{A}\psi_a = a\psi_a $$

3.2 演算子の交換関係と不確定性原理

3.2.1 交換関係

$$ [A,B] = AB - BA $$

$$ [\hat{x}, \hat{p}_x] = i\hbar $$

$$ [\hat{x}_i, \hat{p}_j] = i\hbar \delta_{ij}, \quad [\hat{x}_i, \hat{x}_j]=0, \quad [\hat{p}_i, \hat{p}_j]=0 $$

3.2.2 不確定性原理

$$ (\Delta A)^2 = \langle (A-\langle A \rangle)^2 \rangle,\qquad (\Delta B)^2 = \langle (B-\langle B \rangle)^2 \rangle $$

$$ \Delta A \cdot \Delta B \geq \frac{1}{2}\left| \langle [A,B] \rangle \right| $$

特に

$$ \Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{\hbar}{2} $$

$$ \Delta E \cdot \Delta t \gtrsim \hbar $$

3.3 表象理論

3.3.1 数学的基礎

$$ |\psi\rangle = \sum_n c_n |\phi_n\rangle,\qquad c_n = \langle \phi_n | \psi \rangle $$

$$ A_{mn} = \langle \phi_m | \hat{A} | \phi_n \rangle $$

$$ \sum_n |\phi_n\rangle \langle \phi_n| = I,\qquad \langle \phi_m | \phi_n \rangle = \delta_{mn} $$

3.3.2 状態と力学量の表象

位置表象

$$ \psi(x) = \langle x|\psi\rangle $$

$$ \hat{x} \psi(x) = x \psi(x), \quad \hat{p}_x \psi(x) = -i\hbar \frac{\partial}{\partial x}\psi(x) $$

運動量表象

$$ \phi(p) = \langle p|\psi\rangle $$

$$ \hat{p} \phi(p) = p \phi(p), \quad \hat{x} \phi(p) = i\hbar \frac{\partial}{\partial p}\phi(p) $$

エネルギー表象

$$ |\psi\rangle = \sum_n c_n |E_n\rangle, \quad c_n = \langle E_n|\psi\rangle $$

表象間の変換

$$ \phi(p) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}} \int_{-\infty}^{\infty} \psi(x) e^{-ipx/\hbar} dx $$

$$ \psi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}} \int_{-\infty}^{\infty} \phi(p) e^{ipx/\hbar} dp $$

3.4 軌道角運動量

3.4.1 角運動量

$$ \vec{L} = \vec{r} \times \vec{p},\qquad \hat{\vec{L}} = \hat{\vec{r}} \times \hat{\vec{p}} $$

$$ \hat{L}_x = y\hat{p}_z - z\hat{p}_y, \quad \hat{L}_y = z\hat{p}_x - x\hat{p}_z, \quad \hat{L}_z = x\hat{p}_y - y\hat{p}_x $$

$$ [\hat{L}_x, \hat{L}_y] = i\hbar \hat{L}_z, \quad [\hat{L}_y, \hat{L}_z] = i\hbar \hat{L}_x, \quad [\hat{L}_z, \hat{L}_x] = i\hbar \hat{L}_y $$

$$ \hat{L}^2 = \hat{L}_x^2 + \hat{L}_y^2 + \hat{L}_z^2 $$

3.4.2 角運動量保存

$$ [\hat{H}, \hat{L}_i] = 0 \quad \Rightarrow \quad \hat{L}_i \ \text{は保存する} $$

球対称ポテンシャルでは

$$ [\hat{H}, \hat{L}^2] = 0, \quad [\hat{H}, \hat{L}_z] = 0 $$

3.4.3 軌道角運動量の計算

$$ \hat{L}^2 Y_{lm}(\theta,\varphi) = l(l+1)\hbar^2 Y_{lm}(\theta,\varphi) $$

$$ \hat{L}_z Y_{lm}(\theta,\varphi) = m\hbar Y_{lm}(\theta,\varphi) $$

$$ L = \sqrt{l(l+1)} \hbar,\qquad L_z = m\hbar $$

第4章摂動論とその応用

4.1 定常摂動論

4.1.1 非縮退摂動論

$$ \hat{H} = \hat{H}^{(0)} + \lambda \hat{H}' $$

$$ E_n^{(1)} = \langle \psi_n^{(0)} | \hat{H}' | \psi_n^{(0)} \rangle $$

$$ E_n^{(2)} = \sum_{m \neq n} \frac{|\langle \psi_m^{(0)} | \hat{H}' | \psi_n^{(0)} \rangle|^2}{E_n^{(0)} - E_m^{(0)}} $$

$$ \psi_n^{(1)} = \sum_{m \neq n} \frac{\langle \psi_m^{(0)} | \hat{H}' | \psi_n^{(0)} \rangle}{E_n^{(0)} - E_m^{(0)}} \psi_m^{(0)} $$

4.1.2 縮退摂動論

$$ H'_{ij} = \langle \psi_i^{(0)} | \hat{H}' | \psi_j^{(0)} \rangle $$

を縮退部分空間で対角化する。

4.2 時間依存摂動論

$$ \hat{H}(t) = \hat{H}^{(0)} + \hat{H}'(t) $$

$$ |\psi(t)\rangle = \sum_n c_n(t) e^{-iE_n^{(0)}t/\hbar} |\psi_n^{(0)}\rangle $$

$$ c_f^{(1)}(t) = \frac{1}{i\hbar} \int_0^t \langle \psi_f^{(0)} | \hat{H}'(t') | \psi_i^{(0)} \rangle e^{i\omega_{fi} t'} dt' $$

$$ W_{i \to f} = \frac{2\pi}{\hbar} \, |\langle f | \hat{H}' | i \rangle|^2 \, \rho(E_f) $$

電子スピン

電子スピンの実験的発見

シュテルン＝ゲルラッハ実験
銀原子ビームを不均一磁場に通すと二本に分かれ、電子が軌道角運動量以外の内在的角運動量、すなわちスピンをもつことが示された。
実験的結論
- スピン量子数は $s = 1/2$。
- スピン投影は $m_s = \pm 1/2$。
- スピン磁気モーメント： $$ \vec{\mu}_s = -g_s \frac{e}{2m_e} \vec{S}, \quad g_s \approx 2 $$

電子スピンの理論

量子論的記述
$$ [\hat{S}_i, \hat{S}_j] = i\hbar \epsilon_{ijk} \hat{S}_k $$
物理的意味
スピンは電子の磁性的ふるまいを決め、フェルミ＝ディラック統計とパウリの排他原理につながる。

スピン角運動量

スピン演算子

$$ \hat{S}_x, \hat{S}_y, \hat{S}_z $$

$$ [\hat{S}_x, \hat{S}_y] = i\hbar \hat{S}_z, \quad \text{循環対称} $$

$$ \hat{S}^2 = \hat{S}_x^2 + \hat{S}_y^2 + \hat{S}_z^2 $$

$$ \hat{S}^2 |\chi_s\rangle = s(s+1)\hbar^2 |\chi_s\rangle $$

固有関数の行列表現

$$ |\uparrow\rangle = \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}, \quad |\downarrow\rangle = \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix} $$

$$ \hat{S}_x = \frac{\hbar}{2} \sigma_x, \quad \hat{S}_y = \frac{\hbar}{2} \sigma_y, \quad \hat{S}_z = \frac{\hbar}{2} \sigma_z $$

$$ \sigma_x = \begin{pmatrix}0 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix},\quad \sigma_y = \begin{pmatrix}0 & -i\\ i & 0\end{pmatrix},\quad \sigma_z = \begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & -1\end{pmatrix} $$

角運動量結合理論

$$ \hat{H}_{\text{SO}} = \xi(r)\, \vec{L} \cdot \vec{S} $$

$$ \vec{J} = \vec{L} + \vec{S}, \quad \hat{J}^2 = (\hat{L}+\hat{S})^2 $$

$$ \hat{J}^2 |j, m_j\rangle = j(j+1)\hbar^2 |j, m_j\rangle, \quad \hat{J}_z |j, m_j\rangle = m_j \hbar |j, m_j\rangle $$

$j = l \pm s$、$m_j = -j, -j+1, ..., j$。

同種粒子の原理

同種粒子系

概念と原理

同種粒子の定義
質量・電荷・スピンなどの物理的性質が完全に同一で、いかなる実験でも区別できない粒子を同種粒子という。
同種性原理
同種粒子を交換しても、ハミルトニアンと可観測量は変わらない。

同種粒子系のハミルトニアン

$$ \hat{H} = \sum_{i=1}^N \hat{T}_i + \sum_{i

$$ [\hat{H}, \hat{P}_{ij}] = 0 $$

同種粒子系の波動関数

$$ \hat{P}_{ij} \Psi(\dots, \vec{r}_i, \vec{r}_j, \dots) = \pm \Psi(\dots, \vec{r}_i, \vec{r}_j, \dots) $$

+：ボース粒子、対称
-：フェルミ粒子、反対称

フェルミ粒子ではスレーター行列式：

$$ \Psi(\vec{r}_1, \dots, \vec{r}_N) = \frac{1}{\sqrt{N!}} \begin{vmatrix} \psi_1(\vec{r}_1) & \cdots & \psi_1(\vec{r}_N) \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \psi_N(\vec{r}_1) & \cdots & \psi_N(\vec{r}_N) \end{vmatrix} $$

パウリの排他原理

原理の内容 半整数スピンをもつ同種フェルミ粒子では、任意の二粒子が完全に同一の量子状態を占めることはできない。
$$ \Psi(\text{同一量子状態}) = 0 $$
物理的意味 原子内電子の配置、原子構造、化学的性質、フェルミ気体の性質を説明する。
例
- 原子中の電子：一つの軌道には互いに逆向きのスピンをもつ二個まで。
- 金属電子：フェルミ準位を形成し、電気的・熱的性質を決める。

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第1章 微粒子の二重性と状態記述