複素関数論

複素数

1. 複素数の表現形式： $$z = r\cdot e^{i\theta} = r(cos\theta +i\cdot sin\theta)$$
2. いくつかの初等関数
   1. 指数関数：$e^z = e^x(cosy+isiny)$
      1. $e^zはexpzの略記であり、冪の意味はない$
      2. $|e^z| = e^x,Arg(e^z) = y+2k\pi$
   2. 対数関数：$Lnz =ln|r|+iArgz$
      1. 関数は原点と負の実軸を除く$z$平面内で解析的であり、$(Lnz)' = \frac{1}{z}$
   3. 三角関数
      1. $cosz = \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2},sinz = \frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}$
      2. $chz = \frac{e^z+e^{-z}}{2},shz = \frac{e^z-e^{-z}}{2}$

解析関数

1. 微分可能の定義： $$\lim_{\Delta z \to 0} \frac{f(z_0+\Delta z)-f(z_0)}{\Delta z} 極限が存在する場合、f(z)はz_0で微分可能であるという$$
2. 解析の定義： $$関数f(z)がz_0及びz_0の近傍で至るところ微分可能である場合、f(z)はz_0で解析的であるという$$ 推論：解析関数の和、差、積、商も解析関数であり、解析関数の合成も解析関数である。
3. 微分可能、解析の必要十分条件：$u(x),v(x)が微分可能$であり、コーシー・リーマンの方程式 $$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y} ,\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x} $$を満たすこと。一つでも満たさない場合、微分可能でも解析的でもない。 推論：$f'(z) = \frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{1}{i}\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial y}$

複素関数の積分

重要な公式

$$\oint_{|z-z_0|=r}\frac{1}{(z-z_0)^n}dz=\begin{cases} 2\pi i ,n =1\\ \text 0,\quad n\neq 1 \end{cases} $$

1. コーシー・グーサの基本定理 解析的で単連結な領域内の任意の閉曲線積分の値は0、すなわち $$\oint_{C}^{}f{(z)}dz = 0$$
2. 複合閉路定理——コーシーの積分定理を多連結に拡張 Cを解析的で多連結な領域内の単純閉曲線とし、$C_1,C_2 \cdots C_n$をC内の同方向の単純閉曲線とすると、 $$\oint_{C}^{}f{(z)}dz = \sum_{k=1}^{n} \oint_{C_k}f(z)dz $$
3. コーシーの積分公式——曲線C内部の任意の点の値をその境界の値で表現
4. $f(z)$が領域D内で解析的で、CがD内の正方向の単純閉曲線の場合 $$2\pi i\cdot f(z_0) = \oint_{c} \frac{f(z)}{z-z_0}dx$$
5. コーシーの積分公式の高次拡張——関数の高次導関数を用いて積分を求める $$f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_C \frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}dz$$

級数

冪級数

1. 解析関数の二つの性質
   1. 解析関数は任意の次数の導関数を持つ
   2. 解析関数は必ず冪級数で表現できる
2. テイラー展開$f(z) = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}z^n$
3. テイラー展開を求める方法[[高等数学#関数展開為冪級数]]

ローラン級数

1. 双方向冪級数
   1. 収束域は環状領域$R_1 \lt |z-z_0| \lt R_2$
2. ローラン展開: $$f(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n(z-z_0)^n,c_n=\frac{1}{2\pi i}\cdot \oint_{C}\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}dz$$ 推論：$n$が$-1$の場合、$c_{-1}\cdot 2\pi i=\oint_Cf(z)dz$
3. ローラン展開を求める方法
   1. 定義を用いて$c_n$を計算する（ほとんど使用しない）
   2. 代数演算や置換などの方法を用いて、ローラン級数をテイラー級数の形式と収束域に変換する

留数

孤立特異点

1. 定義：$f(z)$が$z_0$で解析的でないが、$z_0$のある除去近傍内で至るところ解析的である場合
2. 孤立特異点の分類（ローラン級数の負冪項に基づく）
   1. 除去可能な特異点：負冪項を含まないため、$z\to z_0$のとき$f(z)$の極限は有限値
   2. 極：有限個の負冪項を含む（m個の負冪項がある場合、$z_0$を$f(z)$のm位の極と呼ぶ）、$z\to z_0$のとき$f(z)$の極限は$\infty$.
   3. 真性特異点：無限個の負冪項を含み、$f(z)$の極限は存在しない
3. 極と零点の関係
   1. 零点の定義：恒等的に零でない解析関数$f(z)$が$f(z) = (z-z_0)^m\varphi(z)$と表現できる場合、$z_0$を$f(z)$のm位の零点と呼ぶ。 必要十分条件：$f^{(n)}(z_0) = 0,(n \lt m)\quad f^{(m)}\ne 0$
   2. $z_0$が$f(z)$のm位の零点である場合、$z_0$は$\frac{1}{f(z)}$のm位の極である。

留数

1. 定義： $$Res[f(z),z_0]=c_{-1} = \frac{1}{2\pi i}\oint_C f(z)d_z$$
2. 留数の計算規則
   1. $z_0$が$f(z)$の1位の極である場合 $$Res[f(z),z_0]=\lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)$$
   2. $z_0$が$f(z)$のm位の極である場合 $$Res[f(z),z_0]=\frac{1}{(m-1)!}\lim_{z\to z_0}\frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}}(z-z_0)^mf(z)$$
   3. $f(z)=\frac{P(z)}{Q(z)},かつP(z_0)\ne0,Q(z_0) =0,Q'(z_0)\ne0$の場合 $$Res[f(z),z_0]=\frac{P(z_0)}{Q'(z_0)}$$
   4. $$Res[f(z),\infty]=-Res[f(\frac{1}{z})\cdot\frac{1}{z^2},0]$$