著者: 孤筝(lvbowen040427@163.com)

最適化問題

数学モデル

ここで，

• $\vec{x}=(x_1,x_2,\cdots,x_n)^T$ は意思決定変数
• $f(\vec{x})$ は目的関数
• s.t.（subject to）は制約条件を表す

分類

1. 時間による分類
   1. 静的問題
   2. 動的問題
2. 制約条件による分類
   1. 制約付き問題
   2. 無制約問題
3. 目的関数と制約条件が線形かどうか
   1. 線形計画
   2. 非線形計画
4. 目的関数と制約条件が凸関数かどうか
   1. 凸最適化問題
   2. 非凸最適化問題

二次形式行列

二次形式：

二次形式行列：

Hessian 行列

二変数二次関数を例にすると：

実行可能解

• 実行可能解：すべての制約条件を満たす解。
• 実行可能集合（許容集合、実行可能領域）：すべての実行可能解からなる集合。
• 最適化問題：実行可能集合の中から目的関数を最大または最小にする点を探す問題。
• 停留点：$\nabla f(x_0)=0$ を満たすとき，$x_0$ を停留点という。
• 鞍点：$x_0$ が停留点ではあるが極値点ではないとき，鞍点という。

凸集合

定義

平面において，図形内部の任意の二点を結ぶ線分がそのまま図形内部に含まれるとき，その図形を凸集合という。

性質

1. 凸集合の共通部分は凸集合である
2. 凸集合を比例拡大・縮小しても凸集合である
3. 凸集合の和集合ではなく和集合和 $D_1+D_2$ は凸集合である
   • $D_1,D_2$ を凸集合とすると，$D_1+D_2=\{z|z=x+y,x \in D_1,y \in D_2\}$ は凸集合である。
4. 凸集合の線形結合は凸集合である。

よくある凸集合

1. 空集合
2. ユークリッド空間全体 $\vec{R^n}$
3. 超平面 $H=\{x \in \vec{R^n} | a_1x_1+a_2x_2+\cdots +a_nx_n=b\}$
4. 半空間 $H^+=\{x \in \vec{R^n} | a_1x_1+a_2x_2+\cdots +a_nx_n \ge b\}$

凸結合

$x_i \in \vec{R^n},i=1,2,\cdots ,k$ とし，実数 $\lambda_i \ge 0,\sum^k_{i=1}\lambda_i=1$ のとき， $x=\sum^k_{i=1}\lambda_ix_i$ を $x_1,x_2,\cdots , x_k$ の凸結合という。
凸集合内の有限個の点の凸結合は，やはりその凸集合に属する。

極点

$D$ を凸集合，$x \in D$ とする。$D$ の中に異なる二点 $y,z$ と実数 $\alpha \in (0,1)$ が存在して $x=\alpha y+(1-\alpha)z$ と表せないとき，$x$ を $D$ の極点という。

平たく言えば，平面上の五角形なら極点は頂点であり，半円なら直径の両端点と円弧上の頂点に当たる。

凸関数

定義

凸集合上で定義された関数 $f(x)$ が，その凸集合内の任意の二点 $x_1,x_2$ に対して

を満たすとき，$f$ を凸関数という。
不等号が厳密不等号 $\lt$ なら，厳密凸関数という。

判定

1. 多変数関数の Hessian 行列が半正定なら，その関数は凸関数である。
2. Hessian 行列が正定なら，その関数は厳密凸関数である。
3. 多変数線形関数は $\vec{R^n}$ 上の凸関数である。

凸最適化問題

定義

目的関数と制約関数がいずれも凸関数である最適化問題。

• 凸最適化の実行可能集合は凸集合である
• 任意の局所最適解は大域最適解である
• 目的関数が厳密凸関数なら，局所最適解は存在しかつ一意である

線形計画

形式

非標準形

• 目的関数：$\max z=\sum^{n}_{j=1}c_jx_j=CX$
• 係数行列： $$ A= \begin{bmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{m1} & \cdots & a_{mn}\\ \end{bmatrix} =(P_1,P_2,\cdots,P_n) $$
• 資源ベクトル：$b=\begin{bmatrix} b_1\\ \vdots \\ b_m\\ \end{bmatrix}$
• 意思決定変数ベクトル：$X=(x_1,x_2,\cdots , x_n)^T$
• 制約条件： $$ \begin{cases} \sum^{n}_{j=1}a_{ij}x_j=b_i,&i=1,2,\cdots,m\\ x_j \ge 0,& j=1,2,\cdots,n\\ \end{cases} $$ $$ \begin{cases} AX=b\\ X \ge \vec{0} \end{cases} $$

標準形

1. 最大化問題を最小化問題へ変換する
2. スラック変数：$\le$ 制約に対して導入し，等式にする
3. 余剰変数：$\ge$ 制約に対して導入し，等式にする
4. 自由変数：実際の問題で自由に値を取れる変数で，$x_i=x'-x''$ と表す

基底行列

• 基底（基底行列）：係数行列の中の最大正則部分行列。
  • 係数行列 $A$ が $m \times n$ 行列で，$rank(A)=m$ のとき，任意の $m \times m$ 正則部分行列が基底行列となる。
• 基底変数：基底に含まれる列ベクトルに対応する未知数。
• 非基底変数：基底変数でない未知数。
• 基本解：非基底変数をすべて 0 として得られる解。
• 非退化基本解：基本解における非零成分の個数が制約式の本数に等しいもの。そうでなければ退化基本解。
• 基本実行可能解：$\text{s.t.}$ の非負条件を満たす基本解。
• 最適基底実行可能解：すべての基本実行可能解のうち，目的関数値を最適にするもの。

線形計画解の性質

1. 線形計画の実行可能集合は凸集合である
2. 最適解が存在するなら，実行可能集合の頂点で達成される

単体法

判定数（検定数）

各未知数には一つの判定数が対応する

• $C^T$ は目的関数の係数行
• $C^T_J$ は基底変数の目的関数係数
• $P_j$ は行列 $A$ の第 $j$ 列
• $c_i$ は第 $i$ 個の基底変数の目的関数係数
• $c_j$ は目的関数中の第 $j$ 個の変数の係数で，$c_i$ とは無関係

すべての判定数が 0 以下なら，その基底実行可能解は最適解である。

一般に，基底変数の判定数は 0 である。

基底変換

基底行列の選択

最初は単位行列を基底行列として選ぶのが望ましい。初期基底実行可能解と判定数を計算する。

初期単体表の作成

入る列の選択

判定数が正なら，その列には改良の余地があるので，その列 $P_j$ を入る列とし，対応する変数 $x_j$ を入る変数とする。

主元の選択

入る列の中で正の成分 $a_{ij}$ を取り，対応する $b$ の要素をそれで割って比を求め，最小のものを与える $a_{ij}$ を主元とする。
判定数が正であっても，その列の要素がすべて負なら，その線形計画には最適解が存在しない。

初等行変換

主元を 1 にし，その列の他の成分を 0 にする。
幾何学的には，実行可能領域の頂点を移ることを意味する。

出る列

更新後の係数行列に応じて新しい基底行列を選ぶ。元の基底行列から置き換えられた列が出る列であり，その対応変数が出る変数である。
その後，判定数を再計算し，新しい単体表を作る。

次の基底変換

判定数行が更新されて新たに正の判定数が現れたら，その列を新しい入る列とし，主元を選んで再び初等行変換を行う。

結果

すべての判定数が 0 以下になったとき，$\vec{b}$ の値が基底変数の値であり，非基底変数は 0 となる。これらをまとめたものが最適解であり，目的関数に代入すると最小値が得られる。

単体法の適用条件

1. 非同次項がすべて非負である
2. 実行可能解が存在する
3. スラック変数と非基底変数の値の積の和が 0 である
4. 問題が凸な実行可能領域上の線形計画問題である
5. 実行可能解集合が有限である

人工変数法

係数行列に単位行列が含まれない場合，人工変数を導入して人為的に単位行列を構成することが多い。

線形計画問題の制約条件が $\sum^{n}_{j=1}a_{ij}=b_i(i=1,2,\cdots ,m)$ の形で与えられているとする。それぞれの制約に人工変数 $x_{n+1},x_{n+2},\cdots,x_{n+m}$ を加え，それらを基底変数とし，それ以外を 0 と置けば，$x^{(0)}=(0,0,\cdots,0,b_1,b_2,\cdots,b_m)^T$ という実行可能解が得られる。
この解から基底変換を進め，人工変数を含まない最適解へと到達する。

すべての判定数が負になってもなお非零の人工変数が残っている場合，元の問題には実行可能解が存在しない。

Big-M 法

最小化問題では，制約条件に人工変数を入れた後，人工変数の目的関数係数を $M$（$M \in \vec{R^+}$）とする。
最小目的関数値を得るには，人工変数が 0 になるよう基底変換を繰り返す。最大化問題では $M \in \vec{R^-}$ とする。

退化の場合

単体法が循環に陥る場合でも，問題に最適解が存在するなら，以下の方法で循環を避けられる。

摂動法

改良単体法

線形計画の双対理論

線形計画の双対問題の形式

対称形式

元問題

双対問題

対応関係：

• （1）元問題の制約条件数は，双対問題の変数の個数に等しい
• （2）元問題の目的関数係数は，双対問題の制約条件の右辺になる
• （3）元問題が最小化なら，双対問題は最大化になる
• （4）元問題の制約が「$\ge$」なら，双対問題の制約は「$\le$」になる

非対称形式

元問題

双対問題

一般の場合

元問題に $\le,\ge,=$ が混在している場合は，まずスラック変数と余剰変数を導入して等式にそろえ，その後で非対称形式を使って双対問題を作る。

双対単体法

• 単体法：まず $\vec{b} \ge 0$ を満たし，その後で判定数 $\le 0$ に基づいて反復する
• 双対単体法：まず判定数 $\le 0$ を満たし，その後で $\vec{b} \ge 0$ に基づいて反復する

判定数 $\le 0$ を確保する

出る変数の選択

$b_i \lt 0$ が存在する場合，その中で最小の $\min b_i$ をもつ行を出る行とし，対応する変数を出る変数とする。

入る変数の選択

判定数を出る行の負の係数 $a_{ij} \lt 0$ で割り，その結果が最小となる列を入る列とし，対応する変数を入る変数とする。

行変換

行変換によって入る列を基底行列に対応する単位列へ変形する。このとき $\vec{b}$ も更新される。
その後，判定数を再計算し，依然として 0 以下であることを確認する。

次の基底変換

まだ負の $b_i \lt 0$ が残っていれば，最小の $\min b_i$ を選んで次の基底変換を行う。

結果

すべての $b_i \ge 0$ となったとき，$\vec{b}$ は基底変数の最適解部分を与え，非基底変数は 0 となる。
それを目的関数に代入すれば，最大値または最小値が得られる。

感度分析

この記事は2025-05-10に孤筝の温暖小家で公開され、最終更新日は2025-05-10です

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著者: 孤筝(lvbowen040427@163.com)

序文

初版序文

[[2024-09-14]] 今日、追試験がようやく終了した。本試験では過去問がそのまま出題されると聞き、ここ数日インターネットで入手した「西安電子科技大学の過去問」（21年分と23年分2セット）をひたすら解いていた。午前中に21年の問題を解き、午後の試験では4分の1が一字一句変わらない同じ問題だったので、思わず笑ってしまった。

戴浩教授はかつて「全力でQianクラス（特別優待クラス）に最良の教師を配置する」と語っていたが、今や数学統計学院には人材がいなくなったのか？教え方が下手なのは「教育に重点を置いていない」「教える才能がない」と言い訳できるが、試験問題を作成するのに過去数年の問題をそのまま流用し、誤りや不備も多いのには呆れ返った。

自分で作成した試験問題に全く価値がなく、自分でも解こうとしない。これは態度の問題だ。期末試験で水増し採点するのは結構だが、古いネタで学生を騙し続けるのはやめてほしい。学生にはイノベーションを説きながら、自分自身は適当に済ませようとする。これは学問に対する態度でもなければ、教育者としてあるべき姿でもない。

確率論はこれで一段落。この2日間、ノートを繰り返し見直し、問題を解き、多くの誤りを訂正することで、この科目の知識体系が明確になった。内容はまだ少ないが、期末試験の復習材料としては十分だろう。この版を最終版とする（おそらく）。 中秋節には電磁気学とデジタル信号処理の整理を続ける予定だ。

第二版序文

何事も最終などない!!! ——銭学森

分布関数の左右連続性について補足した。この科目がfinalになるにはまだ遠いようだ…

事象演算から論理演算への変換

• $A \cup B=A+B$
• $A \cap B=A \cdot B$
• $A-B=A \bar{B}$ $A$事象が発生し$B$事象が発生しない場合。ベン図で簡単に証明可能。 $-B$を$\cdot (-B)$と解釈でき、$-B$は$\bar{B}$に相当。
• $A \subset B$の場合、$A \cup B=B,A \cap B=A$

事象演算を論理演算に変換後、ほとんどの法則が共通。 デジタル回路で学んだ論理関数の演算と簡略化を用いて、複雑な事象演算を簡略化可能。 ヒント：カルノー図

四大確率公式

推論

$P(A+B+C)$において、$A+B$を一つの事象と見なし、上記の加法定理を適用し、二回分解すると：

より多くの和事象の確率はこの方法で再帰的に求められる。

余事象：$A$が発生しない確率。ベン図で一目瞭然。

非負性と規格化

非負性：任意の事象$A$に対して、$0 \le P(A) \le 1$。 規格化：全事象$\Omega$に対して、$P(\Omega)=1$。

相互独立

独立は相互独立を包含。

古典的確率モデル

各基本事象の発生確率が等しい。

例：コイン投げ、サイコロ振り……

古典的条件付き確率公式

ベルヌーイ試行（二項分布）

$n$回の独立試行で、各試行の結果は$A,\bar{A}$の2通り。

$X \sim B(n,p)$

ここで、$p=P(A),1-p=P(\bar{A})$

幾何的確率モデル

事象が占める線/面/体積部分と全体の長さ/面積/体積の比率。 事象の占める空間次元が全事象空間$\Omega$の次元より低い場合、その事象の確率は常に0。 ==注意==：確率0は必ずしも発生しないことを意味しない。 例：円内の点をランダムに選ぶ場合、任意の点を選ぶ確率は0だが、発生し得る。

一様分布

$x \sim U(a,b)$ 幾何分布における線形分布に近似。各点の確率密度：

分布関数：

指数分布

$x \sim E(\lambda)$

確率密度

分布関数

ポアソン分布

$X \sim \pi(\lambda)$

正規分布

$x \sim N(\mu,\sigma^2)$

確率密度

分布関数

明らかに、$F(\mu)=\frac{1}{2}$、すなわち$P(x \le \mu)=P(x \gt \mu)=\frac{1}{2}$。

標準正規分布

$\mu=0,\sigma=1$の場合、この分布は標準正規分布となる。

推論

正規分布の標準化：

全確率公式

完全事象群

$B_1,B_2,B_3,\cdots B_n$は$\Omega$の完全事象群を構成する。

全確率公式

ベイズの定理

一次元離散確率変数

確率分布

分布関数

一次元連続確率変数

確率密度

分布関数

区間確率

$\because$ $P(x=a)=0,a \in R$ $\therefore$ 区間の両端の等号は任意

規格化

二次元離散確率変数

結合確率分布

$P(X=x_i,Y=y_j)$ X、Yの取り得る値を二次元表にし、対応する確率を記入。

周辺分布

$P(X=x_i),P(Y=y_j)$ 結合確率分布の行/列を合計し、$f_Y(x),f_X(y)$を得る。

条件付き分布

$P(X=x_i|Y=y_j),P(Y=y_i|X=x_j)$ 結合確率分布の各行/列をその行/列に対応する周辺分布で割る。 つまり、各行/列の結合確率分布を比例項に変換し、各項の和を1とする。

二変数の独立性

==ここでの独立性は線形無関係を指し、完全な独立無関係を意味しない。== 結合分布表を行列$\vec{A}$と見なすと、$\det \vec{A}=0$の時XとYは独立。 または：結合分布表の各行/列が比例する場合、XとYは独立。 または：結合確率≠周辺確率の積、すなわち$P(X=x_i,Y=y_j)\ne P(X=x_i)P(Y=y_j)$の場合、XとYは相互独立でない。

二次元連続確率変数

結合密度関数

規格化

周辺密度関数

条件付き密度

独立性

上記条件を満たす時、XとYは相互独立。

分布関数

$Z=X-Y$とすると、

つまり分布関数$F_Z(z)=\iint_Df(x,y)dxdy$。分布関数を微分して確率密度関数$f_Z(z)$を得る。 ==注意==：$F_Z(z)$は規格化条件を満たす。

期待値と分散

関係式

XとYが相互独立の場合$Cov(X,Y)=0$。

主要な期待値と分散

$(0,1)$分布

$B(n,p)$二項分布

$U(a,b)$一様分布

$E(\lambda)$指数分布

$P(\lambda)$ポアソン分布

$N(\mu,\sigma^2)$正規分布

共分散と相関係数

共分散

明らかに、$X=Y$の場合、$Cov(X,X)=DX$。

相関係数

$|\rho|$が大きいほど相関が強い。 $Y=X$の場合、$X$と$X$の相関が最も強く、$\rho=1$を得る。 $Y=-X$の場合、$-X$と$X$の相関が最も強く、$\rho=-1$を得る。 明らかに$|\rho| \le 1$。 $\rho=0$の場合、$X$と$Y$は無相関。 ==注意==：無相関$\nRightarrow$独立、独立$\Rightarrow$無相関。

チェビシェフの不等式による確率推定

中心極限定理

多数の独立変数が同一分布に従う場合、正規分布で近似可能。 $x_1,x_2,\cdots,x_n$が独立かつ同一分布の場合、

三大分布

$\chi^2$（カイ二乗）分布

上側$\alpha$分位点$\chi^2_\alpha(n)$ 密度関数は第一象限に存在

$t$分布

上側$\alpha$分位点$t_\alpha(n)$ 密度関数は正規分布に似ており、左右対称

$F$分布

上側$\alpha$分位点$F_\alpha(n_1,n_2)$ 密度関数は第一象限に存在

推定法

単純無作為標本が相互独立かつ同一分布の場合、未知パラメータを推定。

モーメント法

標本数が大きい場合、標本を平均分布で近似し、標本平均で母平均を代替（母モーメント=標本モーメント）。

1. 与えられた確率分布/密度関数から期待値$EX$（一次母モーメント）を求める
2. 与えられた標本から標本平均$\bar{X}$（一次標本モーメント）を求める
3. $EX=\bar{X}$として$\theta_0$を解き、$\hat{\theta}$を得る

最尤推定法

推定値が標本の発生確率を最大化する。 標本の尤度関数：

$L$の最大値を求めるため、微分して極点を得る。積の微分が煩雑なため、まず対数形式に変換後、未知パラメータ$\theta$で微分。

極点$\theta_0$を解き、推定値$\hat{\theta}$を得る。

不偏性と有効性

$E(\hat{\theta})=\theta$の場合、$\hat{\theta}$

この記事は2024-09-10に孤筝の温暖小家で公開され、最終更新日は2024-09-10です

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著者: 孤筝(lvbowen040427@163.com)

実数の基礎に関するブックレポート

この数学分析の大課題の機会を借りて、実数の構築について書いてみます。

実数の構築は数学基礎理論の一部であり、数学論理、集合論、代数構造など多くの数学分野に関わっています。数学者たちはこれらの基本概念と性質を厳密に導出することで、実数体系を構築し、数学の発展に堅固な基盤を提供しました。この過程は数学史上長い発展を経て、多くの数学者たちの共同貢献によって成し遂げられました。

1. 書籍情報

1.1 数学解析

• 著者： Tom A. Apostol
• 出版年： 1973
• 概要：『数学解析』はTom M. Apostolによる古典的名著で、実数系、極限、連続性など数学解析の基礎を体系的に解説しています。著者は明晰な論理と深い洞察力をもって、読者が実数に対する深い理解を構築するのを助けます。

1.2 実解析と関数解析(Real analysis and functional analysis)

• 著者： 匡継昌
• 出版年： 2002
• 概要：『実解析と関数解析』は匡継昌教授によって執筆された高等数学の教科書で、実解析と関数解析の基本概念、理論および方法を主に紹介しています。本書の特徴は、集合と写像を用いて伝統的な実変数関数論、測度論、関数解析の三つの科目を融合させ、新しい現代解析の基礎教程として構成されている点です。

1.3 実解析と複素解析(Real and Complex Analysis)

• 著者： Walter Rudin
• 出版年： 2006
• 概要： 本書は解析学の分野における古典的名著です。全体的な構成が優れており、実用性が高く、挙げられている例は簡潔で素晴らしいものです。実解析部分も複素解析部分も、基本的に提示されているすべての命題に対して証明が行われています。

1.4 実解析

• 著者： ハルシー・ロイデン、パトリック・フィッツパトリック
• 出版年： 2010年
• 概要： この本は数学解析学の古典の一つとなり、数学を学ぶ学生に深い理論的基礎を提供しています。第5版では、著者は測度論、積分論、および計量、位相、ヒルベルト空間やバナッハ空間など、現代の解析学者が理解すべき主題を包括的にカバーする重要な更新を行いました。

2. 実数系

実数系は数学解析の基礎であり、Apostolは彼の著書で実数の定義と性質を詳細に説明しています。実数は完備性や稠密性といった重要な特性を持ち、数学解析の基盤を構成しています。

実数の構築には数学の基本概念と体系的な構築が関わっています。実数系は実際の量を完全に記述するものであり、整数、有理数、無理数を含みます。

2.1 有理数の導入

1. 自然数の導入： 実数体系の出発点は自然数、すなわち1, 2, 3, 4,…です。これらの数は計数や順序付けに使用されます。

2. 整数の導入： 減算の問題を解決するために、ゼロと負の整数が導入されました。これにより、整数体系には正の整数、ゼロ、負の整数が含まれます。

3. 有理数の導入： 整数は減算の問題を解決しましたが、除算に関してはまだ制限があります。例えば、$\frac{1}{3}$ や $\frac{2}{7}$ を計算しようとすると、そのような数は整数の集合には存在しません。したがって、有理数の概念を導入し、任意の2つの整数の比も新しい数の集合に属するようにします。有理数体系は整数体系の拡張であり、任意の2つの有理数の間に有理数が存在することを可能にし、整数集合の不足を補うことを目的としています。

4. 有理数の性質： 有理数には加法、減法、乗法、除法の閉性など、いくつかの重要な性質があります。これは、任意の2つの有理数の和、差、積、商が依然として有理数であることを意味します。これらの性質により、有理数は完全な数体系となります。

2.2 無理数の導入

1. 有理数の限界： 有理数はほとんどの数値を表すことができますが、平方根の値（例：$\sqrt{2}$）など、2つの整数の比として表せない数が存在します。これらの数を表現しようとすると、$\frac{a}{b} = \sqrt{2}$ となる整数 $a$ と $b$ を見つけることができません。

2. 無理数の定義： 有理数では表現できないという欠陥を補うため、無理数の概念が導入されました。無理数とは、2つの整数の比として表せない数、あるいは有理数ではない数のことです。

3. 超越無理数： 超越無理数は、どの代数方程式の根にもならない無理数です。例えば、$e$ や $\pi$ は超越無理数です。これらの数は有限回の代数演算では得られません。

2.3 実数の完備性証明

実数系は完備な体系であり、実数直線上の任意の無限列は極限を持つ。この性質により、実数系は数学解析において強力なツールとなり、特に極限、連続性、収束性などを扱う際に有効である。 証明方法

上限の定義：

上限の存在：

実数の集合 $S$ に対して、実数 $M$ が存在し、$M$ が $S$ の上界であり、かつ $M$ より小さい任意の実数 $m$ に対して、$S$ の要素 $s$ が存在して $m \lt s$ となる場合、$M$ を $S$ の上限と呼びます。

例：

集合 $S = \{ x \in \mathbb{R} \mid 0 \lt x \lt 1 \}$ を考えます。つまり、$S$ は開区間 $(0, 1)$ 内のすべての実数を含みます。この集合の上限は1です。

実数の完備性：

単調有界数列の極限：

実数システムにおける単調有界数列は必ず極限を持つ。$\{ a_n \}$ を単調増加で有界な数列とすると、実数 $L$ が存在し、$\lim_{n \to \infty} a_n = L$ となる。

上限存在性：

任意の空でない上に有界な実数の集合は必ず上限を持つ。任意の実数の集合 $S$ に対して、$S$ が空でなく上に有界であれば、$S$ は上限を持つ。

完備性の証明の考え方：

実数の完備性は、上限の存在性を証明することで示すことができます。具体的には、上界を持つすべての実数の集合の上限を考え、その上限が実数直線上の数であることを証明します。

証明：

仮定 $S$ は空でなく上界を持つ実数の集合である：

集合 $M$ の構築：

$S$ の上界からなる集合 $M$ を考える。つまり、$M = \{ M' \mid M' \text{は} S \text{の上界} \}$ とする。

$M$ の上限が存在することを証明する：

• $M$ は空でない：$S$ が上界を持つため。
• $M$ は下界を持つ：下界は $\min(S)$ である。
• 実数軸の上限性質により、$M$ は上限を持つ。

$M$ の上限が $S$ の上限であることの証明：

$L$ を $M$ の上限とする。$M$ の定義により、$L$ より小さい任意の実数 $m$ に対して、$m \lt M'$ となる $M' \in M$ が存在する。$M'$ は $S$ の上界であるから、$m$ もまた $S$ の上界であることがわかる。

結論：

したがって、任意の空でない上に有界な実数集合 $S$ に対して、$S$ は必ず上限を持ち、これにより実数の完備性が証明されます。

単調有界定理

単調増加（または減少）で有界な実数列は必ず極限を持つ。 単調増加で上に有界な実数列 $\{a_n\}$ があると仮定し、以下にそれが必ず極限を持つことを証明する。

証明：

1. 単調有界定理の前提条件： 数列 $\{a_n\}$ は単調増加である、つまりすべての $n$ に対して $a_n \leq a_{n+1}$ が成り立つ。同時に、数列は上に有界であり、ある実数 $M$ が存在して、すべての $n$ に対して $a_n \leq M$ が成り立つ。
2. 上限の存在： 数列が上に有界であるため、実数の上限性質により、上限 $L = \sup\{a_n\}$ が存在する。つまり、$L$ は集合 $\{a_n\}$ の上限である。
3. $L$ が数列の極限であることの証明：
   • 任意の小さな正の実数 $\varepsilon \gt 0$ に対して、上限の定義により、ある数列の要素 $a_N$ が存在して、$L - \varepsilon \lt a_N \leq L$ が成り立つ。
   • 数列の単調性により、すべての $n \geq N$ に対して $L - \varepsilon \lt a_N \leq a_n \leq L$ が成り立つ。
   • したがって、すべての $n \geq N$ に対して $L - \varepsilon \lt a_n \lt L + \varepsilon$ が成り立つ。
   • 極限の定義により、$\lim_{n \to \infty} a_n = L$ である。 単調有界定理を通じて、上に有界な単調増加（または下に有界な単調減少）の実数列が極限を持つことを証明した。この結論は実数の完備性の鍵であり、実数直線上の空でない上に有界な数集合が上限を持つことを保証し、実数直線が完備であることを確実にする。

区間縮小定理

すべての正の整数 $n$ に対して、実数の区間 $[a_n, b_n]$ が存在し、以下の条件を満たす場合：

1. $[a_{n+1}, b_{n+1}] \subseteq [a_n, b_n]$（各区間は前の区間に含まれる）。
2. すると、すべての区間に属する実数 $x$ が存在し、すなわちすべての正の整数 $n$ に対して $x \in [a_n, b_n]$ が成り立つ。

証明：

1. 区間の構築：
   • 各正整数 $n$ に対して、区間 $[a_n, b_n]$ が与えられている。
   • 条件1により、これらの区間は区間套を形成する、つまり $[a_{n+1}, b_{n+1}]\subseteq [a_n, b_n]$。
2. 実数の上限性質の利用：
   • 各区間が閉区間であるため、実数の上限性質により、各区間の上限でもある実数 $x$ が存在する。
   • $x = \lim_{n \to \infty} a_n$ とし、$x$ は各区間の左端点からなる数列の極限とする。
3. $x$ が各区間に含まれることの証明：
   • 区間套の定義により、各正整数 $n$ に対して、$x \in [a_n, b_n]$ が成り立つ。
   • したがって、$x$ はすべての区間に属する。
4. 結論：
   • 以上より、すべての与えられた区間に属する実数 $x$ が存在する。これにより区間套定理が証明される。

区間套定理により、各正整数 \(n\) に対して与えられた条件を満たす実数区間 $[a_n, b_n]$ が存在する場合、実数直線上にはすべての区間に同時に属する実数 $x$ が存在することがわかります。この結論は実数直線の完備性の鍵であり、実数直線上の任意の空でない区間套には共通の交点が存在し、それにより実数直線が完備であることが保証されます。

有限被覆定理

有限被覆定理（Finite Covering Property）は実数の完備性の一部であり、ハイネ・ボレルの定理（Heine-Borel Theorem）とも呼ばれます。この定理は実数直線上の有界閉区間の重要な性質を述べています。具体的には、任意の有界閉区間の任意の開区間による開被覆は、その中の有限個の開区間によって全体を被覆できることを示しています。 正式な記述は以下の通りです：

有限被覆定理： $[a, b]$ が実数直線上の有界閉区間であり、$\{G_n\}$ が開区間の集合で $[a, b] \subseteq \bigcup_{n=1}^{\infty} G_n$（閉区間がすべての開区間の和集合に完全に含まれる）を満たすならば、ある自然数 $N$ が存在して、$[a, b] \subseteq \bigcup_{n=1}^{N} G_n$ となる。

有限被覆定理は、任意の有界閉区間がその区間上の有限個の開区間によって被覆可能であることを示しています。

集積点定理

実数上の無限で有界な部分集合Sは、少なくとも1つの集積点を持つ。これは、Sの要素がある実数に近づくことを意味する。 集積点定理はBolzano-Weierstrassの定理とも呼ばれる。この定理は有界列の性質を論じており、特に有界列が少なくとも1つの収束する部分列を持つことを保証する。

集積点定理の主張： 実数列が有界である場合、つまり実数$M$と$N$が存在して、列の各要素$a_n$に対して$N \leq a_n \leq M$が成り立つならば、その列は少なくとも1つの収束する部分列を持つ。

要するに、実数列が有界であれば、必ずある実数に収束する部分列が存在する。

コーシー収束基準

コーシー収束基準（Cauchy Convergence Criterion）は実数列の収束性に関する重要な基準です。この基準はコーシー列の概念に基づいており、ある実数列がコーシー列であれば、それは収束することを指します。

コーシー収束基準の主張： 実数列が収束するための必要十分条件は、それがコーシー列であることです。 コーシー列の定義： 任意の正の実数 $\varepsilon$ に対して、ある正の整数 $N$ が存在し、すべての $n, m \geq N$ について $|a_n - a_m| \lt \varepsilon$ が成り立つ。

簡単に言えば、コーシー列とは、列の要素が番号が増えるにつれて無限に近づき、任意の2項間の差がゼロに近づく列のことです。

コーシー収束基準の重要性は、列内の要素間の差を用いて列の収束性を判断する方法を提供することにあります。ある列がコーシー収束基準を満たす場合、その列は収束する、つまり実数の極限が存在すると断定できます。 注意すべきは、コーシー収束基準は実数列に対して成立するが、より一般的な距離空間（metric space）では、コーシー収束基準は収束の十分条件に過ぎず、必ずしも必要十分条件ではないということです。 実数直線上では、コーシー収束基準は完備性の一つの現れです。

2.4 実数の代数構造

実数系は加算や乗算などの演算規則を持ち、一連の代数構造的性質を満たします。実数の代数構造は、様々な数学的操作や導出において極めて重要です。

1. 加法構造: 実数の集合上に加算演算が定義されており、任意の2つの実数 $a$ と $b$ を加算すると別の実数 $a + b$ が得られます。加算演算は以下の性質を満たします：

   • 可換性: 任意の実数 $a$ と $b$ に対して、$a + b = b + a$ が成り立ちます。
   • 結合性: 任意の実数 $a$、$b$、$c$ に対して、$(a + b) + c = a + (b + c)$ が成り立ちます。
   • 零元の存在: 実数 0 が存在し、任意の実数 $a$ に対して $a + 0 = a$ が成り立ちます。
   • 逆元の存在: 任意の実数 $a$ に対して、実数 $-a$ が存在し、$a + (-a) = 0$ が成り立ちます。

2. 乗法構造: 実数の集合上に乗算演算が定義されており、任意の2つの実数 $a$ と $b$ を乗算すると別の実数 $a \cdot b$ が得られます。乗算演算は以下の性質を満たします：

   • 可換性: 任意の実数 $a$ と $b$ に対して、$a \cdot b = b \cdot a$ が成り立ちます。
   • 結合性: 任意の実数 $a$、$b$、$c$ に対して、$(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$ が成り立ちます。
   • 単位元の存在: 実数 1 が存在し、任意の実数 $a$ に対して $a \cdot 1 = a$ が成り立ちます。
   • 逆元の存在: 任意の非零実数 $a$ に対して、実数 $\frac{1}{a}$ が存在し、$a \cdot \frac{1}{a} = 1$ が成り立ちます。

3. 分配法則: 乗算の加算に対する分配法則は、実数の代数構造において重要な性質であり、任意の実数 $a$、$b$、$c$ に対して、$a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$ および $(a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c$ が成り立ちます。

4. 順序関係: 実数の集合上に大小関係が定義されており、通常は記号 $ \lt $ で表されます。大小関係は以下の性質を満たします：

   • 反対称性: 任意の実数 $a$ と $b$ に対して、$a \lt b$ ならば $b \lt a$ とはなりません。
   • 推移性: 任意の実数 $a$、$b$、$c$ に対して、$a \lt b$ かつ $b \lt c$ ならば、必ず $a \lt c$ が成り立ちます。

これらの代数構造的性質により、実数は順序体（Ordered Field）となり、実数上の数学的解析に強力な代数的ツールを提供します。これらの構造的性質は、方程式の解法、不等式の処理、数学的導出、数学理論の構築において重要な意義を持ちます。

3. 極限と連続性

極限と連続性は数学解析の中核概念です。極限の概念を導入することで、関数の連続性を分かりやすく解説します。

3.1 実数の極限：

（注：マークダウン本文の翻訳は、実際の本文内容が提示されていないため行えません。中国語テキスト部分のみを翻訳する必要があります）

3.1.1 定義：

実数列（または実数関数）$\{a_n\}$ が与えられたとき、nが無限大に近づく際に、ある実数Lが存在し、任意の小さな正の実数εに対して、ある正の整数Nが存在し、n>Nのとき、列の各項がLとの距離がε未満である場合、この列の極限はLであると言い、$\lim_{n \to \infty} a_n = L$ と書きます。

3.1.2 直感的な理解：

極限は、数列の項が増えるにつれて値がある一定の値に近づいていく様子と理解できます。例えば、数列$a_n = \frac{1}{n}$を考えます。nが無限大に近づくとき、$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$となり、これはnが増加するにつれて分数$\frac{1}{n}$の値が徐々にゼロに近づくことを表しています。

3.1.3 性質：

• 極限は一意である：ある数列が極限を持つ場合、その極限は一意である。
• 有界数列の極限：有界で単調増加（または単調減少）する数列は必ず極限を持つ。

3.2 実数の連続性：

3.2.1 連続関数の定義：

実関数 f(x) がある点 \(x=a\) において連続であるとは、以下の条件を満たすことを意味します：

• $f(a)$ が存在すること。
• $\lim_{{x \to a^+}} f(x)$ が存在すること。
• $\lim_{{x \to a^-}} f(x)$ が存在すること。
• $\lim_{{x \to a^+}} f(x) = \lim_{{x \to a^-}} f(x) = f(a)$ が成り立つこと。

3.2.2 直感的な理解：

関数がある点で連続であるとは、グラフにジャンプ、断裂、または不連続がなく、曲線に急激な変化がないことを意味します。典型的な例は連続関数 $f(x) = x^2$ で、実数全体の範囲で連続です。

3.2.3 連続関数の性質：

• 連続関数の和、差、積は依然として連続関数である。
• 分母がゼロでない限り、商関数も連続である。
• 合成関数の連続性：g(x) が点 $x=a$ で連続であり、f(x) が点 $x=g(a)$ で連続である場合、合成関数 $f(g(x))$ は点 $x=a$ でも連続である。

3.3 重要な定理：

3.3.1 中間値の定理：

関数 f(x) が閉区間 [a, b] 上で連続であり、かつ $f(a) \neq f(b)$ である場合、f(a) と f(b) の間の任意の値 c に対して、(a, b) 内のある点 $x_0$ が存在し、$f(x_0) = c$ が成り立ちます。

3.3.2 極値定理：

閉区間 [a, b] 上で連続な関数 f(x) は、その区間内で少なくとも1つの最大値と1つの最小値を持つ。

これらの概念と定理は、実数の極限と連続性理論の基礎を構成し、数学解析におけるより高度な概念や定理を理解するための基盤を提供します。

4. 差異の比較

4.1 数学解析：

• この本は、実数の構成、連続性、極限、微分、積分など、実解析の基本概念をカバーしています。
• 実数の定義と性質、および実数集合の基本的な性質について詳しく解説しています。
• 本書は、実数の構築過程をより深く理解するために、数学的論理と集合論の基礎知識を強調しています。

4.2 『実解析と関数解析』：

• デデキント切断や特定の位相的性質に基づく構成など、より複雑な実数の構築方法を含みます。
• さらに、関数解析の基本的な概念もカバーしています。
• 著者は実数の性質や実数集合の測度、積分理論についてより詳細に議論しています。

4.3 実解析と複素解析：

• この本は最も包括的で、実解析と複素解析の多くの側面をカバーしています。
• 測度論について詳細に説明しています。
• また、複素数の性質、正則関数、調和関数など、複素解析の基本的な概念も扱っています。
• 実数と複素数との関係、およびそれらが数学において重要であることを強調しています。

7. 個人の感想

実数の構築に関する書籍を研究することで、私の数学的観念は大きく広がりました。有理数から無理数への導入、そして上限原理などの方法による説明と証明を通じて、実数の概念についてより明確で深い理解を得ることができました。これにより、実数の導入が有理数の不足を補い、数学体系をより完璧なものにするために行われたことを強く認識しました。

極限と連続性を深く学ぶ過程で、これは非常に深遠で美しい思想であると強く感じました。極限の導入は、数列や関数の傾向を理解するための有効なツールを提供するだけでなく、実数システムの中核的な思想の一つでもあります。連続性の概念は、実数直線上での関数の変化が漸進的で滑らかであることを可能にし、この連続性は数学解析全体に貫かれています。

この記事は2023-12-27に孤筝の温暖小家で公開され、最終更新日は2023-12-27です

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著者: 孤筝(lvbowen040427@163.com)

1. 留数定理（Residue Theorem）：

留数定理は複素関数理論における重要な結果であり、留数の概念に基づいています。留数定理の核心的な考え方は、孤立特異点を含む閉曲線内で関数がその曲線上で至る所正則である場合、曲線内の積分は特異点における留数の和に等しいというものです。

2. ローラン級数（Laurent Series）：

ローラン級数は複素関数の展開形式の一つで、正のべき乗と負のべき乗を含む無限級数として表されます。具体的には、複素関数が環状領域内で次のようにローラン級数展開されます：

ここで、$c_n$は係数、$z_0$は展開点です。

3. 高階導関数の公式：

複素関数の高階導関数の公式は実関数と似ていますが、複素平面上での演算には注意が必要です。関数がある点で正則であれば、その点での高階導関数はべき級数を項ごとに微分することで得られます。

4. コーシーの積分公式（Cauchy’s Integral Formula）：

コーシーの積分公式は複素解析の基本的な結果であり、正則関数とその周回積分の関係を確立します。具体的には、関数$f(z)$が単純閉曲線内で正則であれば、その曲線内の任意の点$z_0$に対して次が成り立ちます：

ここで、$C$は$z_0$を囲む単純閉曲線です。

関係と関連性：

1. 留数定理とローラン級数： 留数定理は閉曲線内の関数の積分を計算するために使用され、ローラン級数展開は関数の特異点近傍の性質を理解し、留数を求めるのに役立ちます。

2. 留数定理と高階導関数の公式： 留数定理は、関数の特異点でのローラン級数展開を項ごとに微分することで、高階導関数を計算するために使用できます。

3. 留数定理とコーシーの積分公式： コーシーの積分公式は関数の周回積分を計算するために使用され、留数定理はコーシーの積分公式の特殊なケースであり、周回内に有限個の孤立特異点がある場合に対応します。

1. 留数定理のローラン級数による証明：

留数定理：

留数定理の表現は次の通りです：

$f(z)$が孤立特異点$z_0$を含む閉曲線内で至る所正則であれば、曲線内の積分は関数の特異点における留数の和に等しい。

ローラン級数展開：

ここで、$c_n$は留数です。

証明の手順：

1. ローラン級数の導出： 複素関数のローラン級数展開により、

   $$f(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n (z - z_0)^n$$

   ここで、$c_n$は留数計算から得られる係数です。

2. 積分の計算： ローラン級数を積分します：

   $$\oint_C f(z) \, dz = \oint_C \left( \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n (z - z_0)^n \right) \, dz$$

3. 積分と和の順序交換： 積分と和の順序を交換すると、

   $$\oint_C f(z) \, dz = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \oint_C c_n (z - z_0)^n \, dz$$

4. 留数定理の適用： $n \neq -1$の場合、$c_n$は$z^{-1}$を含まないため、積分結果はゼロです。$n = -1$の項のみが非ゼロの積分に寄与します。

   $$\oint_C f(z) \, dz = 2\pi i \cdot c_{-1}$$

5. 結論： 最終的に留数定理の結論が得られます：

   $$\oint_C f(z) \, dz = 2\pi i \cdot c_{-1}$$

2. 留数定理から高階導関数の公式の証明：

留数定理：

留数定理の表現は次の通りです：

$f(z)$が孤立特異点$z_0$を含む閉曲線内で至る所正則であれば、曲線内の積分は関数の特異点における留数の和に等しい。

高階導関数の公式：

複素関数の高階導関数の公式は次の通りです：

$f(z)$が点$z_0$で正則であれば、その点での$n$階導関数は次のように表されます：

ここで、$C$は$z_0$を囲む単純閉曲線です。

証明の手順：

1. 留数定理の適用： 留数定理により、

   $$\oint_C f(z) \, dz = 2\pi i \cdot \text{Res}(f, z_0)$$

2. ローラン級数の導出： 前と同様に、$f(z)$を$z_0$周りでローラン級数展開します：

   $$f(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n (z - z_0)^n$$

3. 高階導関数の計算： ローラン級数を用いて$f^{(n)}(z_0)$を計算します：

   $$f^{(n)}(z_0) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} n(n-1)\ldots(n-k+1) \cdot c_n \cdot (z - z_0)^{n-k}$$

4. 留数の抽出： $n = -k$の場合のみ非ゼロの寄与があるため、

   $$f^{(n)}(z_0) = n! \cdot c_{-n}$$

5. 結論： $c_{-n}$を留数定理の式に代入し、高階導関数の公式を得ます：

   $$f^{(n)}(z_0) = \frac{n!}{2\pi i} \oint_C \frac{f(z)}{(z - z_0)^{n+1}} \, dz$$

3. 留数定理からコーシーの積分公式の証明：

留数定理：

留数定理の表現は次の通りです：

$f(z)$が孤立特異点$z_0$を含む閉曲線内で至る所正則であれば、曲線内の積分は関数の特異点における留数の和に等しい。

コーシーの積分公式：

コーシーの積分公式は次の通りです：

ここで、$C$は$z_0$を囲む単純閉曲線です。

証明の手順：

1. 留数定理の適用： 留数定理により、

   $$\oint_C f(z) \, dz = 2\pi i \cdot \text{Res}(f, z_0)$$

2. ローラン級数の導出： 前と同様に、$f(z)$を$z_0$周りでローラン級数展開します：

   $$f(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n (z - z_0)^n$$

3. コーシーの積分公式の形式： コーシーの積分公式の形式を考慮します：

   $$f(z_0) = \frac{1}{2\pi i} \oint_C \frac{f(z)}{z - z_0} \, dz$$

4. 留数の抽出： $c_{-1}$が$1/(z - z_0)$に対応するため、

   $$f(z_0) = c_{-1}$$

5. 結論： $c_{-1}$をコーシーの積分公式の式に代入し、コーシーの積分公式を得ます：

   $$f(z_0) = \frac{1}{2\pi i} \oint_C \frac{f(z)}{z - z_0} \, dz$$

この記事は2023-12-20に孤筝の温暖小家で公開され、最終更新日は2023-12-20です

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著者: 孤筝(lvbowen040427@163.com)

複素数

1. 複素数の表現形式： $$z = r\cdot e^{i\theta} = r(cos\theta +i\cdot sin\theta)$$
2. いくつかの初等関数
   1. 指数関数：$e^z = e^x(cosy+isiny)$
      1. $e^zはexpzの略記であり、冪の意味はない$
      2. $|e^z| = e^x,Arg(e^z) = y+2k\pi$
   2. 対数関数：$Lnz =ln|r|+iArgz$
      1. 関数は原点と負の実軸を除く$z$平面内で解析的であり、$(Lnz)' = \frac{1}{z}$
   3. 三角関数
      1. $cosz = \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2},sinz = \frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}$
      2. $chz = \frac{e^z+e^{-z}}{2},shz = \frac{e^z-e^{-z}}{2}$

解析関数

1. 微分可能の定義： $$\lim_{\Delta z \to 0} \frac{f(z_0+\Delta z)-f(z_0)}{\Delta z} 極限が存在する場合、f(z)はz_0で微分可能であるという$$
2. 解析の定義： $$関数f(z)がz_0及びz_0の近傍で至るところ微分可能である場合、f(z)はz_0で解析的であるという$$ 推論：解析関数の和、差、積、商も解析関数であり、解析関数の合成も解析関数である。
3. 微分可能、解析の必要十分条件：$u(x),v(x)が微分可能$であり、コーシー・リーマンの方程式 $$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y} ,\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x} $$を満たすこと。一つでも満たさない場合、微分可能でも解析的でもない。 推論：$f'(z) = \frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{1}{i}\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial y}$

複素関数の積分

重要な公式

1. コーシー・グーサの基本定理 解析的で単連結な領域内の任意の閉曲線積分の値は0、すなわち $$\oint_{C}^{}f{(z)}dz = 0$$
2. 複合閉路定理——コーシーの積分定理を多連結に拡張 Cを解析的で多連結な領域内の単純閉曲線とし、$C_1,C_2 \cdots C_n$をC内の同方向の単純閉曲線とすると、 $$\oint_{C}^{}f{(z)}dz = \sum_{k=1}^{n} \oint_{C_k}f(z)dz $$
3. コーシーの積分公式——曲線C内部の任意の点の値をその境界の値で表現
4. $f(z)$が領域D内で解析的で、CがD内の正方向の単純閉曲線の場合 $$2\pi i\cdot f(z_0) = \oint_{c} \frac{f(z)}{z-z_0}dx$$
5. コーシーの積分公式の高次拡張——関数の高次導関数を用いて積分を求める $$f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_C \frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}dz$$

級数

冪級数

1. 解析関数の二つの性質
   1. 解析関数は任意の次数の導関数を持つ
   2. 解析関数は必ず冪級数で表現できる
2. テイラー展開$f(z) = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}z^n$
3. テイラー展開を求める方法[[高等数学#関数展開為冪級数]]

ローラン級数

1. 双方向冪級数
   1. 収束域は環状領域$R_1 \lt |z-z_0| \lt R_2$
2. ローラン展開: $$f(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n(z-z_0)^n,c_n=\frac{1}{2\pi i}\cdot \oint_{C}\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}dz$$ 推論：$n$が$-1$の場合、$c_{-1}\cdot 2\pi i=\oint_Cf(z)dz$
3. ローラン展開を求める方法
   1. 定義を用いて$c_n$を計算する（ほとんど使用しない）
   2. 代数演算や置換などの方法を用いて、ローラン級数をテイラー級数の形式と収束域に変換する

留数

孤立特異点

1. 定義：$f(z)$が$z_0$で解析的でないが、$z_0$のある除去近傍内で至るところ解析的である場合
2. 孤立特異点の分類（ローラン級数の負冪項に基づく）
   1. 除去可能な特異点：負冪項を含まないため、$z\to z_0$のとき$f(z)$の極限は有限値
   2. 極：有限個の負冪項を含む（m個の負冪項がある場合、$z_0$を$f(z)$のm位の極と呼ぶ）、$z\to z_0$のとき$f(z)$の極限は$\infty$.
   3. 真性特異点：無限個の負冪項を含み、$f(z)$の極限は存在しない
3. 極と零点の関係
   1. 零点の定義：恒等的に零でない解析関数$f(z)$が$f(z) = (z-z_0)^m\varphi(z)$と表現できる場合、$z_0$を$f(z)$のm位の零点と呼ぶ。 必要十分条件：$f^{(n)}(z_0) = 0,(n \lt m)\quad f^{(m)}\ne 0$
   2. $z_0$が$f(z)$のm位の零点である場合、$z_0$は$\frac{1}{f(z)}$のm位の極である。

留数

1. 定義： $$Res[f(z),z_0]=c_{-1} = \frac{1}{2\pi i}\oint_C f(z)d_z$$
2. 留数の計算規則
   1. $z_0$が$f(z)$の1位の極である場合 $$Res[f(z),z_0]=\lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)$$
   2. $z_0$が$f(z)$のm位の極である場合 $$Res[f(z),z_0]=\frac{1}{(m-1)!}\lim_{z\to z_0}\frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}}(z-z_0)^mf(z)$$
   3. $f(z)=\frac{P(z)}{Q(z)},かつP(z_0)\ne0,Q(z_0) =0,Q'(z_0)\ne0$の場合 $$Res[f(z),z_0]=\frac{P(z_0)}{Q'(z_0)}$$
   4. $$Res[f(z),\infty]=-Res[f(\frac{1}{z})\cdot\frac{1}{z^2},0]$$

この記事は2023-11-17に孤筝の温暖小家で公開され、最終更新日は2023-11-17です

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